Номер 84, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

84. Докажите, что:

1) $\sqrt{27} + \sqrt{65} > 13;$

2) $\sqrt{14} + \sqrt{15} < 8;$

3) $\sqrt{65} - \sqrt{35} > 2;$

4) $\sqrt{99} - \sqrt{82} < 1.$

1) Для доказательства неравенства $\sqrt{27} + \sqrt{65} > 13$ воспользуемся методом оценки, сравнивая подкоренные выражения с ближайшими известными полными квадратами.

Оценим каждое слагаемое в левой части неравенства. Первое слагаемое — $\sqrt{27}$. Так как $27 > 25$, и функция квадратного корня является возрастающей, то $\sqrt{27} > \sqrt{25}$. Следовательно, $\sqrt{27} > 5$. Второе слагаемое — $\sqrt{65}$. Так как $65 > 64$, то по той же причине $\sqrt{65} > \sqrt{64}$. Следовательно, $\sqrt{65} > 8$.

Теперь, имея два неравенства одного знака ($\sqrt{27} > 5$ и $\sqrt{65} > 8$), мы можем их сложить. Складывая левые и правые части этих неравенств, получаем: $\sqrt{27} + \sqrt{65} > 5 + 8$.

Выполнив сложение в правой части, приходим к выводу: $\sqrt{27} + \sqrt{65} > 13$. Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $\sqrt{14} + \sqrt{15} < 8$ применим аналогичный метод оценки.

Оценим каждое слагаемое в левой части. Для $\sqrt{14}$ справедливо, что $14 < 16$. Поскольку функция квадратного корня возрастающая, $\sqrt{14} < \sqrt{16}$, что означает $\sqrt{14} < 4$. Для $\sqrt{15}$ справедливо, что $15 < 16$. Следовательно, $\sqrt{15} < \sqrt{16}$, что означает $\sqrt{15} < 4$.

Сложим полученные неравенства одного знака ($\sqrt{14} < 4$ и $\sqrt{15} < 4$): $\sqrt{14} + \sqrt{15} < 4 + 4$.

Выполнив сложение, получаем: $\sqrt{14} + \sqrt{15} < 8$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства неравенства $\sqrt{65} - \sqrt{35} > 2$ снова используем метод оценки.

Оценим уменьшаемое и вычитаемое. Для уменьшаемого $\sqrt{65}$ имеем: $65 > 64$, следовательно, $\sqrt{65} > \sqrt{64}$, то есть $\sqrt{65} > 8$. Для вычитаемого $\sqrt{35}$ имеем: $35 < 36$, следовательно, $\sqrt{35} < \sqrt{36}$, то есть $\sqrt{35} < 6$.

Чтобы вычесть неравенства, мы можем умножить второе неравенство ($\sqrt{35} < 6$) на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $-\sqrt{35} > -6$. Теперь у нас есть два неравенства одного знака: $\sqrt{65} > 8$ и $-\sqrt{35} > -6$. Сложим их: $\sqrt{65} + (-\sqrt{35}) > 8 + (-6)$.

Упростив выражение, получаем: $\sqrt{65} - \sqrt{35} > 2$. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Для доказательства неравенства $\sqrt{99} - \sqrt{82} < 1$ воспользуемся тем же методом оценки.

Оценим уменьшаемое и вычитаемое. Для $\sqrt{99}$ имеем: $99 < 100$, следовательно, $\sqrt{99} < \sqrt{100}$, то есть $\sqrt{99} < 10$. Для $\sqrt{82}$ имеем: $82 > 81$, следовательно, $\sqrt{82} > \sqrt{81}$, то есть $\sqrt{82} > 9$.

Умножим второе неравенство ($\sqrt{82} > 9$) на $-1$, меняя знак на противоположный: $-\sqrt{82} < -9$. Теперь мы можем сложить два неравенства одного знака: $\sqrt{99} < 10$ и $-\sqrt{82} < -9$. $\sqrt{99} + (-\sqrt{82}) < 10 + (-9)$.

Упростив, получаем: $\sqrt{99} - \sqrt{82} < 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.