Номер 77, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

77. Сравните значения выражений:

1) $2^{24}$ и $9^8$,

2) $0,3^{20}$ и $0,1^{10}$,

3) $0,0015^{10}$ и $0,2^{40}$.

1) Сравним $2^{24}$ и $9^8$.

Чтобы сравнить два степенных выражения, приведем их к общему показателю степени. Наибольший общий делитель показателей 24 и 8 равен 8. Поэтому мы можем представить оба выражения как степени с показателем 8.

Преобразуем первое выражение:

$2^{24} = 2^{3 \cdot 8} = (2^3)^8$

Вычислим основание новой степени:

$2^3 = 8$

Таким образом, $2^{24} = 8^8$.

Теперь сравним полученное выражение $8^8$ со вторым выражением $9^8$. Поскольку показатели степеней одинаковы и равны 8, достаточно сравнить их основания.

Сравниваем основания: $8 < 9$.

Так как основание 8 меньше основания 9, то и значение степени $8^8$ будет меньше значения степени $9^8$.

Следовательно, $2^{24} < 9^8$.

Ответ: $2^{24} < 9^8$.

2) Сравним $0,3^{20}$ и $0,1^{10}$.

Приведем степени к общему показателю. Наибольший общий делитель показателей 20 и 10 равен 10.

Преобразуем выражение $0,3^{20}$ к степени с показателем 10:

$0,3^{20} = 0,3^{2 \cdot 10} = (0,3^2)^{10}$

Вычислим новое основание:

$0,3^2 = 0,09$

Следовательно, $0,3^{20} = 0,09^{10}$.

Теперь сравним $0,09^{10}$ и $0,1^{10}$. Так как показатели степеней равны, сравним их основания.

Сравниваем основания: $0,09 < 0,1$.

Поскольку функция возведения в степень $y=x^{10}$ является возрастающей для положительных оснований, из $0,09 < 0,1$ следует, что $0,09^{10} < 0,1^{10}$.

Таким образом, $0,3^{20} < 0,1^{10}$.

Ответ: $0,3^{20} < 0,1^{10}$.

3) Сравним $0,0015^{10}$ и $0,2^{40}$.

Приведем выражения к общему показателю степени. Наибольший общий делитель для 10 и 40 равен 10.

Преобразуем второе выражение $0,2^{40}$ к степени с показателем 10:

$0,2^{40} = 0,2^{4 \cdot 10} = (0,2^4)^{10}$

Вычислим значение нового основания:

$0,2^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,04 \cdot 0,04 = 0,0016$

Таким образом, $0,2^{40} = 0,0016^{10}$.

Теперь задача сводится к сравнению $0,0015^{10}$ и $0,0016^{10}$. Показатели степеней равны, поэтому сравним их основания.

Сравниваем основания: $0,0015 < 0,0016$.

Так как основания положительны, и $0,0015 < 0,0016$, то и $0,0015^{10} < 0,0016^{10}$.

Следовательно, $0,0015^{10} < 0,2^{40}$.

Ответ: $0,0015^{10} < 0,2^{40}$.