Номер 71, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

71. Верно ли утверждение:

1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$;

2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$;

3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$;

4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$;

5) если $a > 2$ и $b > 7$, то $b - a > 5$;

6) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$;

7) если $a > 2$ и $b > 7$, то $3a + 2b > 20$;

8) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$;

9) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$;

10) если $a > 2$, то $a^2 > 4$;

11) если $a < 2$, то $a^2 < 4$;

12) если $a > 2$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$;

13) если $a < 2$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$;

14) если $-3 < a < 3$, то $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$?

1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$
Согласно свойству числовых неравенств, если сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака. Сложим неравенства $a > 2$ и $b > 7$:
$a + b > 2 + 7$
$a + b > 9$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$
Как было показано в предыдущем пункте, из условий $a > 2$ и $b > 7$ следует, что $a + b > 9$. Поскольку любое число, которое больше 9, очевидно, больше и 8, то утверждение $a + b > 8$ также является верным.
Ответ: Верно.

3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$
Утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 2,1$ и $b = 7,1$. Эти значения удовлетворяют начальным условиям, так как $2,1 > 2$ и $7,1 > 7$. Найдем их сумму: $a + b = 2,1 + 7,1 = 9,2$. Результат $9,2$ не является строго больше, чем $9,2$. Можно взять $a=2,05$ и $b=7,05$, тогда $a+b=9,1$, что меньше $9,2$.
Ответ: Неверно.

4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$
Утверждение неверно. Из неравенства $b > 7$ следует, что $-b < -7$. Мы имеем два неравенства $a > 2$ и $-b < -7$. Так как знаки неравенств разные, их нельзя почленно складывать. Приведем контрпример. Пусть $a=3$ (что удовлетворяет $a>2$) и $b=10$ (что удовлетворяет $b>7$). Тогда $a - b = 3 - 10 = -7$. Неравенство $-7 > -5$ является ложным.
Ответ: Неверно.

5) если $a > 2$ и $b > 7$, то $b - a > 5$
Утверждение неверно. Из неравенства $a > 2$ следует, что $-a < -2$. Мы имеем два неравенства $b > 7$ и $-a < -2$. Складывать их нельзя из-за разных знаков. Приведем контрпример. Пусть $b = 7,5$ ($7,5 > 7$) и $a=3$ ($3 > 2$). Тогда $b - a = 7,5 - 3 = 4,5$. Неравенство $4,5 > 5$ является ложным.
Ответ: Неверно.

6) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$
Поскольку $a > 2$ и $b > 7$, оба числа $a$ и $b$ являются положительными. По свойству числовых неравенств, если перемножить два верных неравенства с положительными частями, то получится верное неравенство того же знака. Перемножим $a > 2$ и $b > 7$:
$ab > 2 \cdot 7$
$ab > 14$
Так как любое число, большее 14, также больше 13, утверждение $ab > 13$ является верным.
Ответ: Верно.

7) если $a > 2$ и $b > 7$, то $3a + 2b > 20$
Умножим обе части неравенства $a > 2$ на положительное число 3: $3a > 3 \cdot 2 \implies 3a > 6$.
Умножим обе части неравенства $b > 7$ на положительное число 2: $2b > 2 \cdot 7 \implies 2b > 14$.
Теперь сложим полученные неравенства $3a > 6$ и $2b > 14$:
$3a + 2b > 6 + 14$
$3a + 2b > 20$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

8) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$
Преобразуем неравенство $b < -7$. Умножим обе его части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-b > 7$.
Теперь у нас есть два неравенства одного знака: $a > 2$ и $-b > 7$. Сложим их:
$a + (-b) > 2 + 7$
$a - b > 9$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

9) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$
Утверждение неверно. Правило перемножения неравенств применимо только в случае, если все части неравенств положительны. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример. Пусть $a = -3$ ($a < 2$) и $b = -5$ ($b < 7$). Их произведение $ab = (-3) \cdot (-5) = 15$. Неравенство $15 < 14$ является ложным.
Ответ: Неверно.

10) если $a > 2$, то $a^2 > 4$
Так как $a > 2$, то $a$ — положительное число. Функция $y=x^2$ является возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$. Следовательно, для положительных чисел большее значение аргумента соответствует большему значению функции. Возведя обе части неравенства $a > 2$ в квадрат, мы сохраним знак неравенства:
$a^2 > 2^2$
$a^2 > 4$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

11) если $a < 2$, то $a^2 < 4$
Утверждение неверно. Условию $a < 2$ удовлетворяют не только положительные числа от 0 до 2, но и все отрицательные числа. Функция $y=x^2$ убывает для $x < 0$. Приведем контрпример. Пусть $a = -3$. Условие $a<2$ выполнено ($-3 < 2$). Однако $a^2 = (-3)^2 = 9$. Неравенство $9 < 4$ является ложным.
Ответ: Неверно.

12) если $a > 2$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$
Из условия $a > 2$ следует, что $a$ и 2 — положительные числа. При делении 1 на обе части неравенства (или при взятии обратной величины) знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $a > 2$ следует:
$\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

13) если $a < 2$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$
Утверждение неверно. Условию $a < 2$ удовлетворяют и отрицательные числа, и 0 (для которого выражение не определено). Приведем контрпример с отрицательным числом. Пусть $a = -1$. Условие $a < 2$ выполнено. Однако $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1$. Неравенство $-1 > \frac{1}{2}$ является ложным.
Ответ: Неверно.

14) если $-3 < a < 3$, то $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$
Утверждение неверно. Отметим, что при $a=0$ выражение $\frac{1}{a}$ не определено. Рассмотрим два случая для $a \ne 0$.
1. Если $0 < a < 3$, то, взяв обратные величины, получим $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$. Это противоречит заключению $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$. Например, при $a=1$, $\frac{1}{a}=1$, а $1 \not< \frac{1}{3}$.
2. Если $-3 < a < 0$, то, взяв обратные величины, получим $\frac{1}{a} < -\frac{1}{3}$. Это противоречит заключению $\frac{1}{a} > -\frac{1}{3}$. Например, при $a=-1$, $\frac{1}{a}=-1$, а $-1 \not> -\frac{1}{3}$.
В обоих случаях утверждение ложно.
Ответ: Неверно.