Номер 72, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

72. Дано: $a > 2,4$ и $b > 1,6$. Сравните:

1) $a + \frac{3}{4}b$ и 3,6;

2) $(a+b)^2$ и 16;

3) $(a - 0,4)(b + 1,4)$ и 6.

1) Нам даны два неравенства: $a > 2.4$ и $b > 1.6$.
Чтобы сравнить выражение $a + \frac{3}{4}b$ с числом $3.6$, мы сначала оценим значение второго слагаемого $\frac{3}{4}b$.
Поскольку $b > 1.6$ и $\frac{3}{4} > 0$, мы можем умножить обе части неравенства для $b$ на $\frac{3}{4}$, не меняя знака неравенства:
$\frac{3}{4}b > \frac{3}{4} \cdot 1.6$
Вычислим правую часть: $\frac{3}{4} \cdot 1.6 = 0.75 \cdot 1.6 = 1.2$.
Таким образом, мы получили неравенство $\frac{3}{4}b > 1.2$.
Теперь у нас есть система из двух неравенств:
$a > 2.4$
$\frac{3}{4}b > 1.2$
Сложим эти неравенства почленно (свойства неравенств позволяют это делать, если знаки неравенств одинаковы):
$a + \frac{3}{4}b > 2.4 + 1.2$
$a + \frac{3}{4}b > 3.6$
Следовательно, выражение $a + \frac{3}{4}b$ больше, чем $3.6$.
Ответ: $a + \frac{3}{4}b > 3.6$

2) Нам нужно сравнить $(a+b)^2$ и $16$.
Используем исходные данные: $a > 2.4$ и $b > 1.6$.
Сложим эти два неравенства:
$a + b > 2.4 + 1.6$
$a + b > 4$
Поскольку $a > 2.4$ и $b > 1.6$, то $a$ и $b$ - положительные числа, значит их сумма $a+b$ также является положительным числом. В частности, $a+b > 4$, что подтверждает, что значение $a+b$ положительно.
Так как обе части неравенства $a + b > 4$ положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(a+b)^2 > 4^2$
$(a+b)^2 > 16$
Следовательно, выражение $(a+b)^2$ больше, чем $16$.
Ответ: $(a+b)^2 > 16$

3) Требуется сравнить $(a-0.4)(b+1.4)$ и $6$.
Начнем с преобразования исходных неравенств, чтобы получить оценки для каждого множителя.
Из неравенства $a > 2.4$ вычтем $0.4$ из обеих частей:
$a - 0.4 > 2.4 - 0.4$
$a - 0.4 > 2$
К обеим частям неравенства $b > 1.6$ прибавим $1.4$:
$b + 1.4 > 1.6 + 1.4$
$b + 1.4 > 3$
Мы получили два новых неравенства: $a - 0.4 > 2$ и $b + 1.4 > 3$.
Так как правые части этих неравенств (2 и 3) положительны, то и левые части $(a-0.4)$ и $(b+1.4)$ также положительны.
Мы можем перемножить эти два неравенства, так как все их части положительны. Знак неравенства при этом сохранится:
$(a-0.4)(b+1.4) > 2 \cdot 3$
$(a-0.4)(b+1.4) > 6$
Следовательно, выражение $(a-0.4)(b+1.4)$ больше, чем $6$.
Ответ: $(a-0.4)(b+1.4) > 6$