Страница 21 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

63. Дано: $2 < b < 6$. Оцените значение выражения:

1) $\frac{1}{2}b;$

2) $b - 6;$

3) $2b + 5;$

4) $4 - b.$

1) $\frac{1}{2}b$;
Нам дано неравенство $2 < b < 6$.
Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{1}{2}b$, необходимо умножить каждую часть исходного неравенства на $\frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2}$ — положительное число, знаки неравенства сохраняются.
$2 \cdot \frac{1}{2} < b \cdot \frac{1}{2} < 6 \cdot \frac{1}{2}$
Выполнив умножение, получаем:
$1 < \frac{1}{2}b < 3$
Ответ: $1 < \frac{1}{2}b < 3$.

2) $b - 6$;
Используем исходное неравенство $2 < b < 6$.
Чтобы оценить значение выражения $b - 6$, вычтем число 6 из каждой части неравенства. При вычитании числа знаки неравенства сохраняются.
$2 - 6 < b - 6 < 6 - 6$
Выполнив вычитание, получаем:
$-4 < b - 6 < 0$
Ответ: $-4 < b - 6 < 0$.

3) $2b + 5$;
Начнем с исходного неравенства $2 < b < 6$.
Сначала оценим выражение $2b$. Для этого умножим все части неравенства на 2. Так как $2 > 0$, знаки неравенства сохраняются.
$2 \cdot 2 < b \cdot 2 < 6 \cdot 2$
$4 < 2b < 12$
Теперь оценим выражение $2b + 5$. Для этого прибавим число 5 к каждой части полученного неравенства. При сложении с числом знаки неравенства сохраняются.
$4 + 5 < 2b + 5 < 12 + 5$
$9 < 2b + 5 < 17$
Ответ: $9 < 2b + 5 < 17$.

4) $4 - b$.
Начнем с исходного неравенства $2 < b < 6$.
Сначала оценим выражение $-b$. Для этого умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$2 \cdot (-1) > b \cdot (-1) > 6 \cdot (-1)$
$-2 > -b > -6$
Для удобства запишем это неравенство в порядке возрастания:
$-6 < -b < -2$
Теперь оценим выражение $4 - b$ (что то же самое, что и $-b + 4$). Для этого прибавим число 4 к каждой части полученного неравенства. Знаки неравенства при сложении сохраняются.
$-6 + 4 < -b + 4 < -2 + 4$
$-2 < 4 - b < 2$
Ответ: $-2 < 4 - b < 2$.

64. Известно, что $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$. Оцените значение выражения:

1) $3\sqrt{7}$;

2) $-2\sqrt{7}$;

3) $\sqrt{7} + 1,3$;

4) $0,1\sqrt{7} + 0,3$.

1)

Нам дано неравенство $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$. Чтобы оценить значение выражения $3\sqrt{7}$, нужно умножить все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не изменятся.

$2,6 \times 3 < \sqrt{7} \times 3 < 2,7 \times 3$

$7,8 < 3\sqrt{7} < 8,1$

Ответ: $7,8 < 3\sqrt{7} < 8,1$.

2)

Чтобы оценить значение выражения $-2\sqrt{7}$, умножим все части исходного неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на -2. Так как -2 — отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные.

$2,6 \times (-2) > \sqrt{7} \times (-2) > 2,7 \times (-2)$

$-5,2 > -2\sqrt{7} > -5,4$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего числа к большему:

$-5,4 < -2\sqrt{7} < -5,2$

Ответ: $-5,4 < -2\sqrt{7} < -5,2$.

3)

Чтобы оценить значение выражения $\sqrt{7} + 1,3$, прибавим ко всем частям исходного неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ число 1,3. При прибавлении числа знаки неравенства не изменяются.

$2,6 + 1,3 < \sqrt{7} + 1,3 < 2,7 + 1,3$

$3,9 < \sqrt{7} + 1,3 < 4,0$

Ответ: $3,9 < \sqrt{7} + 1,3 < 4,0$.

4)

Чтобы оценить значение выражения $0,1\sqrt{7} + 0,3$, выполним действия пошагово. Сначала умножим все части исходного неравенства $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ на 0,1. Так как 0,1 — положительное число, знаки неравенства сохранятся.

$2,6 \times 0,1 < \sqrt{7} \times 0,1 < 2,7 \times 0,1$

$0,26 < 0,1\sqrt{7} < 0,27$

Теперь прибавим ко всем частям полученного неравенства число 0,3. Знаки неравенства снова не изменятся.

$0,26 + 0,3 < 0,1\sqrt{7} + 0,3 < 0,27 + 0,3$

$0,56 < 0,1\sqrt{7} + 0,3 < 0,57$

Ответ: $0,56 < 0,1\sqrt{7} + 0,3 < 0,57$.

65. Дано: $5 < a < 6$ и $4 < b < 7$. Оцените значение выражения:

1) $a+b$;

2) $ab$;

3) $a-b$.

1) a + b;

Для того чтобы оценить сумму $a + b$, необходимо сложить данные неравенства. Сложение неравенств одного знака производится почленно: левая часть с левой, правая с правой.

Имеем два неравенства:
$5 < a < 6$
$4 < b < 7$

Складываем их:
$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 & < & a < 6 \\ 4 & < & b < 7 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5+4 & < & a+b < 6+7 \\ \end{array} \end{array} $
Выполняем сложение:
$9 < a + b < 13$

Ответ: $9 < a + b < 13$

2) ab;

Для оценки произведения $ab$ необходимо перемножить данные неравенства. Так как все члены неравенств ($5, a, 6, 4, b, 7$) являются положительными числами, мы можем перемножить их почленно.

Имеем неравенства:
$5 < a < 6$
$4 < b < 7$

Перемножаем их:
$ \begin{array}{c} \times \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 & < & a < 6 \\ 4 & < & b < 7 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 \cdot 4 & < & a \cdot b < 6 \cdot 7 \\ \end{array} \end{array} $
Выполняем умножение:
$20 < ab < 42$

Ответ: $20 < ab < 42$

3) a - b.

Чтобы оценить разность $a - b$, представим ее в виде суммы $a + (-b)$. Сначала найдем границы для выражения $-b$. Для этого умножим все части неравенства $4 < b < 7$ на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.

$4 < b < 7 \quad |\cdot(-1)$
$-4 > -b > -7$

Для удобства запишем полученное неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):
$-7 < -b < -4$

Теперь сложим почленно неравенства для $a$ и $-b$:
$ \begin{array}{c} + \\ \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 & < & a < 6 \\ -7 & < & -b < -4 \\ \end{array} \\ \hline \begin{array}{r@{\,}c@{\,}l} 5 + (-7) & < & a + (-b) < 6 + (-4) \\ \end{array} \end{array} $
Выполняем вычисления:
$5 - 7 < a - b < 6 - 4$
$-2 < a - b < 2$

Ответ: $-2 < a - b < 2$

66. Известно, что $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ и $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Оцените значение выражения:

1) $\sqrt{5} + \sqrt{3}$;

2) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$;

3) $\sqrt{15}$.

1) $\sqrt{5} + \sqrt{3}$;

Для оценки суммы $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ воспользуемся свойством сложения неравенств. Нам даны следующие оценки:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

Чтобы найти границы для суммы, сложим почленно левые и правые части этих неравенств:

$2,2 + 1,7 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,3 + 1,8$

Выполнив сложение, получаем итоговую оценку:

$3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$

Ответ: $3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1$.

2) $\sqrt{5} - \sqrt{3}$;

Для оценки разности $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ мы можем представить ее как сумму $\sqrt{5} + (-\sqrt{3})$. Для этого сначала найдем оценку для $-\sqrt{3}$.

Известно, что $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$. Умножим все части этого неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1,8 < -\sqrt{3} < -1,7$

Теперь сложим почленно неравенство для $\sqrt{5}$ и полученное неравенство для $-\sqrt{3}$:

$2,2 + (-1,8) < \sqrt{5} + (-\sqrt{3}) < 2,3 + (-1,7)$

Упростив выражение, получим:

$0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$

Ответ: $0,4 < \sqrt{5} - \sqrt{3} < 0,6$.

3) $\sqrt{15}$.

Для оценки значения $\sqrt{15}$ воспользуемся свойством корней $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Таким образом, $\sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 3} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{3}$.

Поскольку все части исходных неравенств являются положительными числами, мы можем их перемножить почленно:

$2,2 < \sqrt{5} < 2,3$

$1,7 < \sqrt{3} < 1,8$

Перемножив левые и правые части, получаем:

$2,2 \cdot 1,7 < \sqrt{5} \cdot \sqrt{3} < 2,3 \cdot 1,8$

Вычислив произведения, находим оценку для $\sqrt{15}$:

$3,74 < \sqrt{15} < 4,14$

Ответ: $3,74 < \sqrt{15} < 4,14$.

67. Дано: $2 < x < 4$. Оцените значение выражения $\frac{1}{x}$.

По условию задачи дано двойное неравенство $2 < x < 4$. Нам необходимо оценить значение выражения $\frac{1}{x}$.

Все части данного неравенства ($2$, $x$ и $4$) являются положительными числами. Для таких неравенств существует свойство: если $a < b$ и $a, b > 0$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$.

Применим это свойство к нашему двойному неравенству. Это равносильно применению свойства к двум неравенствам: $2 < x$ и $x < 4$.

1. Из неравенства $2 < x$ следует, что $\frac{1}{2} > \frac{1}{x}$.

2. Из неравенства $x < 4$ следует, что $\frac{1}{x} > \frac{1}{4}$.

Объединим полученные результаты в одно двойное неравенство:
$\frac{1}{4} < \frac{1}{x}$ и $\frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.

Следовательно, итоговая оценка для выражения $\frac{1}{x}$ выглядит так:
$\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{4} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

68. Оцените среднее арифметическое значений a и b, если известно, что $2.5 < a < 2.6$ и $3.1 < b < 3.2$.

Среднее арифметическое значений a и b определяется как их сумма, деленная на два. Формула среднего арифметического M:

$M = \frac{a + b}{2}$

Чтобы найти диапазон значений для среднего арифметического, сначала найдем диапазон для суммы a + b. Нам даны следующие неравенства:

$2,5 < a < 2,6$

$3,1 < b < 3,2$

Мы можем почленно сложить эти неравенства, так как у них одинаковые знаки. Складываем левые части с левыми, а правые — с правыми:

$2,5 + 3,1 < a + b < 2,6 + 3,2$

Вычисляем суммы в левой и правой частях:

$5,6 < a + b < 5,8$

Теперь мы имеем оценку для суммы a + b. Чтобы получить оценку для среднего арифметического $\frac{a + b}{2}$, разделим все части полученного двойного неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$\frac{5,6}{2} < \frac{a + b}{2} < \frac{5,8}{2}$

Выполняем деление:

$2,8 < \frac{a + b}{2} < 2,9$

Таким образом, среднее арифметическое значений a и b находится в интервале от 2,8 до 2,9.

Ответ: $2,8 < \frac{a+b}{2} < 2,9$.

69. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием $a$ см и боковой стороной $b$ см, если $10 < a < 14$ и $12 < b < 18$.

Периметр $P$ равнобедренного треугольника с основанием $a$ и боковой стороной $b$ вычисляется по формуле: $P = a + 2b$.

По условию задачи даны следующие неравенства для длин сторон:
$10 < a < 14$
$12 < b < 18$

Чтобы найти оценку для периметра, необходимо сначала найти оценку для величины $2b$. Для этого умножим все части неравенства для $b$ на 2:
$2 \cdot 12 < 2 \cdot b < 2 \cdot 18$
$24 < 2b < 36$

Теперь, чтобы оценить периметр $P = a + 2b$, воспользуемся свойством сложения неравенств и сложим почленно неравенства для $a$ и $2b$:
$10 + 24 < a + 2b < 14 + 36$

Выполнив вычисления, получим итоговую оценку для периметра $P$:
$34 < P < 50$

Это означает, что периметр треугольника строго больше 34 см и строго меньше 50 см.

Ответ: $34 < P < 50$.

70. Оцените периметр параллелограмма со сторонами $a$ см и $b$ см, если $15 \leq a \leq 19$ и $6 \leq b \leq 11$.

Периметр параллелограмма $P$ со сторонами $a$ и $b$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$.

Согласно условию задачи, длины сторон параллелограмма находятся в следующих пределах:

$15 \le a \le 19$

$6 \le b \le 11$

Чтобы оценить периметр, нам необходимо сначала найти диапазон значений для суммы сторон $(a + b)$. Для этого воспользуемся свойством сложения неравенств: если сложить два неравенства одинакового знака, то получится неравенство того же знака.

Сложим почленно данные неравенства:

$15 + 6 \le a + b \le 19 + 11$

Выполнив сложение, получаем:

$21 \le a + b \le 30$

Теперь, чтобы найти оценку для периметра $P = 2(a+b)$, нужно умножить все части полученного двойного неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знаки неравенства сохраняются.

$2 \cdot 21 \le 2(a + b) \le 2 \cdot 30$

$42 \le P \le 60$

Таким образом, периметр параллелограмма больше или равен 42 см и меньше или равен 60 см.

Ответ: $42 \le P \le 60$.

71. Верно ли утверждение:

1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$;

2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$;

3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$;

4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$;

5) если $a > 2$ и $b > 7$, то $b - a > 5$;

6) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$;

7) если $a > 2$ и $b > 7$, то $3a + 2b > 20$;

8) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$;

9) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$;

10) если $a > 2$, то $a^2 > 4$;

11) если $a < 2$, то $a^2 < 4$;

12) если $a > 2$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$;

13) если $a < 2$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$;

14) если $-3 < a < 3$, то $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$?

1) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9$
Согласно свойству числовых неравенств, если сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство того же знака. Сложим неравенства $a > 2$ и $b > 7$:
$a + b > 2 + 7$
$a + b > 9$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

2) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 8$
Как было показано в предыдущем пункте, из условий $a > 2$ и $b > 7$ следует, что $a + b > 9$. Поскольку любое число, которое больше 9, очевидно, больше и 8, то утверждение $a + b > 8$ также является верным.
Ответ: Верно.

3) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a + b > 9,2$
Утверждение неверно. Чтобы доказать это, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = 2,1$ и $b = 7,1$. Эти значения удовлетворяют начальным условиям, так как $2,1 > 2$ и $7,1 > 7$. Найдем их сумму: $a + b = 2,1 + 7,1 = 9,2$. Результат $9,2$ не является строго больше, чем $9,2$. Можно взять $a=2,05$ и $b=7,05$, тогда $a+b=9,1$, что меньше $9,2$.
Ответ: Неверно.

4) если $a > 2$ и $b > 7$, то $a - b > -5$
Утверждение неверно. Из неравенства $b > 7$ следует, что $-b < -7$. Мы имеем два неравенства $a > 2$ и $-b < -7$. Так как знаки неравенств разные, их нельзя почленно складывать. Приведем контрпример. Пусть $a=3$ (что удовлетворяет $a>2$) и $b=10$ (что удовлетворяет $b>7$). Тогда $a - b = 3 - 10 = -7$. Неравенство $-7 > -5$ является ложным.
Ответ: Неверно.

5) если $a > 2$ и $b > 7$, то $b - a > 5$
Утверждение неверно. Из неравенства $a > 2$ следует, что $-a < -2$. Мы имеем два неравенства $b > 7$ и $-a < -2$. Складывать их нельзя из-за разных знаков. Приведем контрпример. Пусть $b = 7,5$ ($7,5 > 7$) и $a=3$ ($3 > 2$). Тогда $b - a = 7,5 - 3 = 4,5$. Неравенство $4,5 > 5$ является ложным.
Ответ: Неверно.

6) если $a > 2$ и $b > 7$, то $ab > 13$
Поскольку $a > 2$ и $b > 7$, оба числа $a$ и $b$ являются положительными. По свойству числовых неравенств, если перемножить два верных неравенства с положительными частями, то получится верное неравенство того же знака. Перемножим $a > 2$ и $b > 7$:
$ab > 2 \cdot 7$
$ab > 14$
Так как любое число, большее 14, также больше 13, утверждение $ab > 13$ является верным.
Ответ: Верно.

7) если $a > 2$ и $b > 7$, то $3a + 2b > 20$
Умножим обе части неравенства $a > 2$ на положительное число 3: $3a > 3 \cdot 2 \implies 3a > 6$.
Умножим обе части неравенства $b > 7$ на положительное число 2: $2b > 2 \cdot 7 \implies 2b > 14$.
Теперь сложим полученные неравенства $3a > 6$ и $2b > 14$:
$3a + 2b > 6 + 14$
$3a + 2b > 20$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

8) если $a > 2$ и $b < -7$, то $a - b > 9$
Преобразуем неравенство $b < -7$. Умножим обе его части на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $-b > 7$.
Теперь у нас есть два неравенства одного знака: $a > 2$ и $-b > 7$. Сложим их:
$a + (-b) > 2 + 7$
$a - b > 9$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

9) если $a < 2$ и $b < 7$, то $ab < 14$
Утверждение неверно. Правило перемножения неравенств применимо только в случае, если все части неравенств положительны. В данном случае $a$ и $b$ могут быть отрицательными. Приведем контрпример. Пусть $a = -3$ ($a < 2$) и $b = -5$ ($b < 7$). Их произведение $ab = (-3) \cdot (-5) = 15$. Неравенство $15 < 14$ является ложным.
Ответ: Неверно.

10) если $a > 2$, то $a^2 > 4$
Так как $a > 2$, то $a$ — положительное число. Функция $y=x^2$ является возрастающей на промежутке $(0, +\infty)$. Следовательно, для положительных чисел большее значение аргумента соответствует большему значению функции. Возведя обе части неравенства $a > 2$ в квадрат, мы сохраним знак неравенства:
$a^2 > 2^2$
$a^2 > 4$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

11) если $a < 2$, то $a^2 < 4$
Утверждение неверно. Условию $a < 2$ удовлетворяют не только положительные числа от 0 до 2, но и все отрицательные числа. Функция $y=x^2$ убывает для $x < 0$. Приведем контрпример. Пусть $a = -3$. Условие $a<2$ выполнено ($-3 < 2$). Однако $a^2 = (-3)^2 = 9$. Неравенство $9 < 4$ является ложным.
Ответ: Неверно.

12) если $a > 2$, то $\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$
Из условия $a > 2$ следует, что $a$ и 2 — положительные числа. При делении 1 на обе части неравенства (или при взятии обратной величины) знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, из $a > 2$ следует:
$\frac{1}{a} < \frac{1}{2}$
Утверждение является верным.
Ответ: Верно.

13) если $a < 2$, то $\frac{1}{a} > \frac{1}{2}$
Утверждение неверно. Условию $a < 2$ удовлетворяют и отрицательные числа, и 0 (для которого выражение не определено). Приведем контрпример с отрицательным числом. Пусть $a = -1$. Условие $a < 2$ выполнено. Однако $\frac{1}{a} = \frac{1}{-1} = -1$. Неравенство $-1 > \frac{1}{2}$ является ложным.
Ответ: Неверно.

14) если $-3 < a < 3$, то $-\frac{1}{3} < \frac{1}{a} < \frac{1}{3}$
Утверждение неверно. Отметим, что при $a=0$ выражение $\frac{1}{a}$ не определено. Рассмотрим два случая для $a \ne 0$.
1. Если $0 < a < 3$, то, взяв обратные величины, получим $\frac{1}{a} > \frac{1}{3}$. Это противоречит заключению $\frac{1}{a} < \frac{1}{3}$. Например, при $a=1$, $\frac{1}{a}=1$, а $1 \not< \frac{1}{3}$.
2. Если $-3 < a < 0$, то, взяв обратные величины, получим $\frac{1}{a} < -\frac{1}{3}$. Это противоречит заключению $\frac{1}{a} > -\frac{1}{3}$. Например, при $a=-1$, $\frac{1}{a}=-1$, а $-1 \not> -\frac{1}{3}$.
В обоих случаях утверждение ложно.
Ответ: Неверно.

72. Дано: $a > 2,4$ и $b > 1,6$. Сравните:

1) $a + \frac{3}{4}b$ и 3,6;

2) $(a+b)^2$ и 16;

3) $(a - 0,4)(b + 1,4)$ и 6.

1) Нам даны два неравенства: $a > 2.4$ и $b > 1.6$.
Чтобы сравнить выражение $a + \frac{3}{4}b$ с числом $3.6$, мы сначала оценим значение второго слагаемого $\frac{3}{4}b$.
Поскольку $b > 1.6$ и $\frac{3}{4} > 0$, мы можем умножить обе части неравенства для $b$ на $\frac{3}{4}$, не меняя знака неравенства:
$\frac{3}{4}b > \frac{3}{4} \cdot 1.6$
Вычислим правую часть: $\frac{3}{4} \cdot 1.6 = 0.75 \cdot 1.6 = 1.2$.
Таким образом, мы получили неравенство $\frac{3}{4}b > 1.2$.
Теперь у нас есть система из двух неравенств:
$a > 2.4$
$\frac{3}{4}b > 1.2$
Сложим эти неравенства почленно (свойства неравенств позволяют это делать, если знаки неравенств одинаковы):
$a + \frac{3}{4}b > 2.4 + 1.2$
$a + \frac{3}{4}b > 3.6$
Следовательно, выражение $a + \frac{3}{4}b$ больше, чем $3.6$.
Ответ: $a + \frac{3}{4}b > 3.6$

2) Нам нужно сравнить $(a+b)^2$ и $16$.
Используем исходные данные: $a > 2.4$ и $b > 1.6$.
Сложим эти два неравенства:
$a + b > 2.4 + 1.6$
$a + b > 4$
Поскольку $a > 2.4$ и $b > 1.6$, то $a$ и $b$ - положительные числа, значит их сумма $a+b$ также является положительным числом. В частности, $a+b > 4$, что подтверждает, что значение $a+b$ положительно.
Так как обе части неравенства $a + b > 4$ положительны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$(a+b)^2 > 4^2$
$(a+b)^2 > 16$
Следовательно, выражение $(a+b)^2$ больше, чем $16$.
Ответ: $(a+b)^2 > 16$

3) Требуется сравнить $(a-0.4)(b+1.4)$ и $6$.
Начнем с преобразования исходных неравенств, чтобы получить оценки для каждого множителя.
Из неравенства $a > 2.4$ вычтем $0.4$ из обеих частей:
$a - 0.4 > 2.4 - 0.4$
$a - 0.4 > 2$
К обеим частям неравенства $b > 1.6$ прибавим $1.4$:
$b + 1.4 > 1.6 + 1.4$
$b + 1.4 > 3$
Мы получили два новых неравенства: $a - 0.4 > 2$ и $b + 1.4 > 3$.
Так как правые части этих неравенств (2 и 3) положительны, то и левые части $(a-0.4)$ и $(b+1.4)$ также положительны.
Мы можем перемножить эти два неравенства, так как все их части положительны. Знак неравенства при этом сохранится:
$(a-0.4)(b+1.4) > 2 \cdot 3$
$(a-0.4)(b+1.4) > 6$
Следовательно, выражение $(a-0.4)(b+1.4)$ больше, чем $6$.
Ответ: $(a-0.4)(b+1.4) > 6$