Страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.

1. Теорема о почленном сложении неравенств формулируется следующим образом:

Если даны два или более верных числовых неравенства одинакового знака, то, сложив почленно их левые и правые части, мы получим верное неравенство того же знака.

В виде формул это можно записать так:

Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

Это свойство распространяется на любое количество неравенств.

Доказательство (для двух неравенств со знаком ">"):

Пусть нам даны два верных неравенства $a > b$ и $c > d$.
Из определения неравенства $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Аналогично, из неравенства $c > d$ следует, что разность $c - d$ также является положительным числом: $c - d > 0$.
Сумма двух положительных чисел всегда есть число положительное, поэтому мы можем записать: $(a - b) + (c - d) > 0$.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: $a - b + c - d > 0$
$(a + c) - (b + d) > 0$
Согласно определению знака "больше", последнее неравенство означает, что $a + c > b + d$, что и требовалось доказать.

Пример:

Даны верные неравенства $5 > 2$ и $10 > 3$.
Сложим их почленно: $5 + 10 > 2 + 3$.
Получим верное неравенство $15 > 5$.

Важно подчеркнуть, что теорема справедлива только для неравенств одного знака. Почленное сложение неравенств разных знаков (например, $a > b$ и $c < d$) не приводит к предсказуемому результату.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — любые числа, и верны неравенства $a > b$ и $c > d$, то верно и неравенство $a + c > b + d$. Аналогично, если верны неравенства $a < b$ и $c < d$, то верно и неравенство $a + c < b + d$.

2. Поясните, какие неравенства называют неравенствами одного знака, а какие – неравенствами противоположных знаков.

какие неравенства называют неравенствами одного знака

Два неравенства называют неравенствами одного знака, если они оба используют знаки одинаковой направленности. В математике существует четыре знака неравенства: «больше» ($>$), «меньше» (<), «больше или равно» ($\ge$) и «меньше или равно» ($\le$). Знаки $>$ и $\ge$ считаются знаками одного типа (типа «больше»), а знаки < и $\le$ — другого (типа «меньше»). Таким образом, если оба неравенства содержат знаки одного типа, их называют неравенствами одного знака.

Например, пара неравенств $a > 5$ и $b > 3$ — это неравенства одного знака, так как в обоих используется знак типа «больше». Точно так же, пара $x < 0$ и $y \le 10$ — это неравенства одного знака, поскольку оба знака относятся к типу «меньше».

Ответ: Неравенствами одного знака называют два неравенства, в которых используются знаки одинаковой направленности: либо оба знака относятся к типу «больше» ($>$ или $\ge$), либо оба относятся к типу «меньше» (< или $\le$).

какие — неравенствами противоположных знаков

Два неравенства называют неравенствами противоположных знаков, если их знаки имеют противоположную направленность. Это означает, что одно неравенство содержит знак типа «больше» ($>$ или $\ge$), а другое — знак типа «меньше» (< или $\le$).

Например, пара неравенств $a > 7$ и $b < 12$ — это неравенства противоположных знаков, потому что один знак «больше», а другой — «меньше». Другой пример: $x \ge -1$ и $y < 4$. Здесь также знаки направлены в разные стороны, поэтому неравенства являются неравенствами противоположных знаков.

Ответ: Неравенствами противоположных знаков называют два неравенства, в которых знаки имеют противоположную направленность: в одном неравенстве используется знак типа «больше» ($>$ или $\ge$), а в другом — знак типа «меньше» (< или $\le$).

3. Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств.

Теорема о почленном умножении неравенств формулируется следующим образом: если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых являются положительными числами, то получится верное неравенство того же знака.

В математической записи это выглядит так: если даны положительные числа $a, b, c, d$ и для них выполняются неравенства $a < b$ и $c < d$, то будет верным и неравенство $ac < bd$.
Теорема также справедлива и для нестрогих неравенств: если $a \le b$ и $c \le d$ (при $a, b, c, d > 0$), то $ac \le bd$.

Доказательство теоремы:
Пусть даны два верных неравенства $a < b$ и $c < d$, где все числа $a, b, c, d$ являются положительными.

1. Умножим обе части первого неравенства $a < b$ на положительное число $c$. Согласно свойствам числовых неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется. Получаем: $ac < bc$.
2. Теперь умножим обе части второго неравенства $c < d$ на положительное число $b$. Так как $b > 0$, знак неравенства также не изменится. Получаем: $bc < bd$.
3. Мы получили два верных неравенства: $ac < bc$ и $bc < bd$. По свойству транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем заключить, что $ac < bd$.

Таким образом, теорема доказана.

Пример:
Рассмотрим два верных неравенства: $3 < 8$ и $5 < 10$. Все части неравенств — положительные числа.
Перемножим их левые и правые части почленно: $3 \cdot 5 < 8 \cdot 10$.
Выполнив вычисления, получаем верное неравенство: $15 < 80$.

Важное замечание:
Условие, что все части неравенств должны быть положительными, является обязательным. Если это условие не выполняется, то результат почленного умножения может оказаться неверным. Например, рассмотрим два верных неравенства: $-5 < 2$ и $-4 < 1$. Если мы их перемножим почленно, то получим: $(-5) \cdot (-4)$ и $2 \cdot 1$. В результате имеем $20$ и $2$. Неравенство $20 < 2$ является ложным. Это демонстрирует, почему теорема применима только для положительных чисел.

Ответ: Если $a < b$ и $c < d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то при почленном умножении этих неравенств получится верное неравенство того же знака: $ac < bd$.

4. Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.

Следствие из теоремы о почленном умножении неравенств касается возведения обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень.

Формулировка следствия

Если обе части верного неравенства являются положительными числами, то при возведении обеих его частей в одну и ту же натуральную степень получится верное неравенство того же знака.

В виде формулы это записывается следующим образом:

Если даны числа $a$ и $b$ такие, что $a > 0$, $b > 0$ и $a < b$, то для любого натурального числа $n$ ($n \in \mathbb{N}$) будет справедливо неравенство:

$a^n < b^n$

Обоснование

Данное следствие напрямую вытекает из основной теоремы о почленном умножении неравенств. Сама теорема гласит, что если почленно перемножить несколько верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части положительны, то в результате получится верное неравенство того же знака.

Возведение в степень $n$ — это частный случай такого многократного умножения. Чтобы доказать следствие, достаточно рассмотреть неравенство $a < b$ (где $a, b > 0$) как систему из $n$ одинаковых неравенств:

$ \begin{cases} a < b \\ a < b \\ \dots \\ a < b \end{cases} $ ($n$ раз)

Поскольку все части этих неравенств ($a$ и $b$) по условию положительны, мы можем применить теорему и почленно их перемножить. Умножение $n$ левых частей даст $a^n$, а умножение $n$ правых частей даст $b^n$.

$\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}} < \underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ множителей}}$

Таким образом, мы получаем искомое неравенство $a^n < b^n$. Аналогичное рассуждение справедливо и для неравенств со знаками $>$, $\ge$ и $\le$.

Ответ: Следствие из теоремы о почленном умножении неравенств: если обе части верного неравенства ($a < b$) являются положительными числами ($a>0, b>0$), то при возведении их в любую натуральную степень $n$ получится верное неравенство того же знака ($a^n < b^n$).

60. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) сложим почленно неравенства $10 > -6$ и $8 > 5$;

2) умножим почленно неравенства $2 < 7$ и $3 < 4$;

3) умножим почленно неравенства $1,2 > 0,9$ и $5 > \frac{1}{3}$.

1) Чтобы сложить почленно два неравенства одного знака, нужно сложить их левые и правые части, сохранив знак неравенства. В данном случае оба неравенства имеют знак «больше» ($>$).
Даны неравенства: $10 > -6$ и $8 > 5$.
Складываем левые части: $10 + 8 = 18$.
Складываем правые части: $-6 + 5 = -1$.
Получаем итоговое неравенство, сохранив знак: $18 > -1$. Это верное неравенство, так как 18 действительно больше -1.
Ответ: $18 > -1$

2) Чтобы почленно умножить два верных неравенства одного знака, у которых все части положительны, нужно перемножить их левые и правые части, сохранив знак неравенства.
Даны неравенства: $2 < 7$ и $3 < 4$.
Все части неравенств ($2, 7, 3, 4$) являются положительными числами. Оба неравенства имеют знак «меньше» (<).
Умножаем левые части: $2 \cdot 3 = 6$.
Умножаем правые части: $7 \cdot 4 = 28$.
Получаем итоговое неравенство, сохранив знак: $6 < 28$. Это верное неравенство.
Ответ: $6 < 28$

3) Аналогично предыдущему пункту, для почленного умножения неравенств необходимо, чтобы они были одного знака и все их части были положительными.
Даны неравенства: $1,2 > 0,9$ и $5 > \frac{1}{3}$.
Все части неравенств ($1,2$; $0,9$; $5$; $\frac{1}{3}$) являются положительными числами. Оба неравенства имеют знак «больше» ($>$).
Умножаем левые части: $1,2 \cdot 5 = 6$.
Умножаем правые части: $0,9 \cdot \frac{1}{3} = \frac{9}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{9 \cdot 1}{10 \cdot 3} = \frac{3}{10} = 0,3$.
Получаем итоговое неравенство, сохранив знак: $6 > 0,3$. Это верное неравенство.
Ответ: $6 > 0,3$

61. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) сложим почленно неравенства $-9 < -4$ и $-6 < 4$;

2) умножим почленно неравенства $\frac{1}{6} < \frac{1}{3}$ и $24 < 27$.

1) сложим почленно неравенства $-9 < -4$ и $-6 < 4$;

Согласно свойству числовых неравенств, если имеются два верных неравенства одинакового знака ($a < b$ и $c < d$), то их можно почленно сложить. Результатом будет верное неравенство того же знака: $a + c < b + d$.

Даны два неравенства:

1. $-9 < -4$

2. $-6 < 4$

Оба неравенства имеют одинаковый знак «меньше» (<). Сложим их левые и правые части:

$(-9) + (-6) < (-4) + 4$

Выполним сложение в обеих частях полученного неравенства:

$-15 < 0$

Полученное неравенство $-15 < 0$ является верным.

Ответ: $-15 < 0$

2) умножим почленно неравенства $\frac{1}{6} < \frac{1}{3}$ и $24 < 27$.

Согласно свойству числовых неравенств, если имеются два верных неравенства одинакового знака ($a < b$ и $c < d$), и все их части являются положительными числами ($a, b, c, d > 0$), то их можно почленно умножить. Результатом будет верное неравенство того же знака: $a \cdot c < b \cdot d$.

Даны два неравенства:

1. $\frac{1}{6} < \frac{1}{3}$

2. $24 < 27$

Проверим выполнение условий. Оба неравенства имеют знак «меньше» (<). Все части неравенств являются положительными числами: $\frac{1}{6} > 0$, $\frac{1}{3} > 0$, $24 > 0$ и $27 > 0$. Следовательно, мы можем их почленно умножить.

Умножим их левые и правые части:

$\frac{1}{6} \cdot 24 < \frac{1}{3} \cdot 27$

Выполним вычисления в обеих частях:

$\frac{24}{6} < \frac{27}{3}$

$4 < 9$

Полученное неравенство $4 < 9$ является верным.

Ответ: $4 < 9$

62. Дано: $-3 < a < 4$. Оцените значение выражения:

1) $2a$;

2) $\frac{a}{3}$;

3) $a+2$;

4) $a-1$;

5) $3a+1$;

6) $-a$;

7) $-4a$;

8) $-5a+3$.

1) 2a;

Используем исходное неравенство: $-3 < a < 4$.
Чтобы оценить значение выражения $2a$, умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не меняются.
$(-3) \cdot 2 < a \cdot 2 < 4 \cdot 2$
$-6 < 2a < 8$
Ответ: $-6 < 2a < 8$.

2) $\frac{a}{3}$;

Используем исходное неравенство: $-3 < a < 4$.
Чтобы оценить значение выражения $\frac{a}{3}$, разделим все части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства не меняются.
$\frac{-3}{3} < \frac{a}{3} < \frac{4}{3}$
$-1 < \frac{a}{3} < \frac{4}{3}$
Ответ: $-1 < \frac{a}{3} < \frac{4}{3}$.

3) a + 2;

Используем исходное неравенство: $-3 < a < 4$.
Чтобы оценить значение выражения $a + 2$, прибавим 2 ко всем частям неравенства.
$-3 + 2 < a + 2 < 4 + 2$
$-1 < a + 2 < 6$
Ответ: $-1 < a + 2 < 6$.

4) a – 1;

Используем исходное неравенство: $-3 < a < 4$.
Чтобы оценить значение выражения $a - 1$, вычтем 1 из всех частей неравенства.
$-3 - 1 < a - 1 < 4 - 1$
$-4 < a - 1 < 3$
Ответ: $-4 < a - 1 < 3$.

5) 3a + 1;

Сначала оценим значение $3a$. Для этого умножим все части исходного неравенства $-3 < a < 4$ на 3:
$(-3) \cdot 3 < a \cdot 3 < 4 \cdot 3$
$-9 < 3a < 12$
Теперь к полученному неравенству прибавим 1 ко всем частям:
$-9 + 1 < 3a + 1 < 12 + 1$
$-8 < 3a + 1 < 13$
Ответ: $-8 < 3a + 1 < 13$.

6) –a;

Используем исходное неравенство: $-3 < a < 4$.
Чтобы оценить значение выражения $-a$, умножим все части неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные.
$(-3) \cdot (-1) > a \cdot (-1) > 4 \cdot (-1)$
$3 > -a > -4$
Запишем неравенство в привычном виде (от меньшего к большему):
$-4 < -a < 3$
Ответ: $-4 < -a < 3$.

7) –4a;

Используем исходное неравенство: $-3 < a < 4$.
Чтобы оценить значение выражения $-4a$, умножим все части неравенства на -4. Так как мы умножаем на отрицательное число, знаки неравенства меняются на противоположные.
$(-3) \cdot (-4) > a \cdot (-4) > 4 \cdot (-4)$
$12 > -4a > -16$
Запишем неравенство в привычном виде:
$-16 < -4a < 12$
Ответ: $-16 < -4a < 12$.

8) –5a + 3;

Сначала оценим значение $-5a$. Для этого умножим все части исходного неравенства $-3 < a < 4$ на -5. Знаки неравенства поменяются на противоположные.
$(-3) \cdot (-5) > a \cdot (-5) > 4 \cdot (-5)$
$15 > -5a > -20$
Теперь к полученному неравенству прибавим 3 ко всем частям:
$15 + 3 > -5a + 3 > -20 + 3$
$18 > -5a + 3 > -17$
Запишем неравенство в привычном виде:
$-17 < -5a + 3 < 18$
Ответ: $-17 < -5a + 3 < 18$.