Страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

43. Известно, что $-2 < b < 1$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $b + 2$;

2) $1 - b$;

3) $b - 2$;

4) $(b - 1)(b - 3)$;

5) $(b + 2)(b - 4)^2$;

6) $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2$.

Нам дано неравенство $-2 < b < 1$. Мы будем использовать это условие для определения знака каждого выражения.

1) $b + 2$

Из левой части исходного неравенства $-2 < b$ следует, что если прибавить 2 к обеим частям, то знак неравенства сохранится:
$-2 + 2 < b + 2$
$0 < b + 2$
Следовательно, значение выражения $b + 2$ всегда больше нуля.
Ответ: $b + 2 > 0$ (положительное).

2) $1 - b$

Из правой части исходного неравенства $b < 1$ следует, что если вычесть $b$ из обеих частей, то получим:
$b - b < 1 - b$
$0 < 1 - b$
Следовательно, значение выражения $1 - b$ всегда больше нуля.
Ответ: $1 - b > 0$ (положительное).

3) $b - 2$

Используем правую часть исходного неравенства $b < 1$. Вычтем 2 из обеих частей:
$b - 2 < 1 - 2$
$b - 2 < -1$
Так как любое число, которое меньше $-1$, также меньше нуля, то выражение $b - 2$ всегда отрицательно.
Ответ: $b - 2 < 0$ (отрицательное).

4) $(b - 1)(b - 3)$

Рассмотрим знак каждого множителя в отдельности.
Первый множитель: $b - 1$. Из условия $b < 1$ следует, что $b - 1 < 0$ (отрицательный).
Второй множитель: $b - 3$. Из условия $b < 1$ следует, что $b - 3 < 1 - 3$, то есть $b - 3 < -2$. Значит, множитель $b - 3$ также отрицательный.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-)\cdot(-) = (+)$.
Следовательно, $(b - 1)(b - 3) > 0$.
Ответ: $(b - 1)(b - 3) > 0$ (положительное).

5) $(b + 2)(b - 4)^2$

Рассмотрим знак каждого множителя.
Первый множитель: $b + 2$. Как было показано в пункте 1, из условия $-2 < b$ следует, что $b + 2 > 0$ (положительный).
Второй множитель: $(b - 4)^2$. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, является положительным числом. Так как по условию $b < 1$, то $b \neq 4$, а значит $b - 4 \neq 0$. Следовательно, $(b - 4)^2 > 0$ (положительный).
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+)\cdot(+) = (+)$.
Следовательно, $(b + 2)(b - 4)^2 > 0$.
Ответ: $(b + 2)(b - 4)^2 > 0$ (положительное).

6) $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2$

Рассмотрим знак каждого множителя.
Первый множитель: $b - 3$. Как было показано в пункте 4, из $b < 1$ следует, что $b - 3 < 0$ (отрицательный).
Второй множитель: $b + 3$. Из условия $-2 < b$ следует, что $-2 + 3 < b + 3$, то есть $1 < b + 3$. Значит, $b + 3 > 0$ (положительный).
Третий множитель: $(b - 2)^2$. Так как по условию $b < 1$, то $b \neq 2$, а значит $b - 2 \neq 0$. Следовательно, квадрат этого выражения $(b - 2)^2$ всегда положителен.
Находим знак всего произведения, перемножая знаки множителей: $(-)\cdot(+)\cdot(+) = (-)$.
Следовательно, $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2 < 0$.
Ответ: $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2 < 0$ (отрицательное).

44. Дано: $a > b$. Сравните:

1) $a + 9$ и $b + 9$;

2) $b - 6$ и $a - 6$;

3) $1,8a$ и $1,8b$;

4) $-a$ и $-b$;

5) $-40b$ и $-40a$;

6) $\frac{a}{20}$ и $\frac{b}{20}$;

7) $2a - 3$ и $2b - 3$;

8) $5 - 8a$ и $5 - 8b$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать свойства числовых неравенств, исходя из начального условия $a > b$.

1) a + 9 и b + 9;

Согласно свойству неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям исходного неравенства $a > b$ число 9.

$a + 9 > b + 9$

Ответ: $a + 9 > b + 9$.

2) b - 6 и a - 6;

Согласно свойству неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычтем из обеих частей исходного неравенства $a > b$ число 6.

$a - 6 > b - 6$

Данное неравенство означает, что выражение $a - 6$ больше, чем $b - 6$, следовательно, $b - 6$ меньше, чем $a - 6$.

Ответ: $b - 6 < a - 6$.

3) 1,8a и 1,8b;

Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Умножим обе части исходного неравенства $a > b$ на положительное число 1,8.

$1,8a > 1,8b$

Ответ: $1,8a > 1,8b$.

4) -a и -b;

Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. Умножим обе части исходного неравенства $a > b$ на -1.

$-1 \cdot a < -1 \cdot b$

$-a < -b$

Ответ: $-a < -b$.

5) -40b и -40a;

Умножим обе части исходного неравенства $a > b$ на отрицательное число -40. При этом знак неравенства меняется на противоположный.

$a \cdot (-40) < b \cdot (-40)$

$-40a < -40b$

Это означает, что $-40b$ больше, чем $-40a$.

Ответ: $-40b > -40a$.

6) $\frac{a}{20}$ и $\frac{b}{20}$;

Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Разделим обе части исходного неравенства $a > b$ на 20.

$\frac{a}{20} > \frac{b}{20}$

Ответ: $\frac{a}{20} > \frac{b}{20}$.

7) 2a - 3 и 2b - 3;

Выполним преобразования с исходным неравенством $a > b$ в два шага:

1. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства не изменится:

$2a > 2b$

2. Вычтем из обеих частей число 3. Знак неравенства также не изменится:

$2a - 3 > 2b - 3$

Ответ: $2a - 3 > 2b - 3$.

8) 5 - 8a и 5 - 8b.

Выполним преобразования с исходным неравенством $a > b$ в два шага:

1. Умножим обе части на отрицательное число -8. Знак неравенства изменится на противоположный:

$-8a < -8b$

2. Прибавим к обеим частям число 5. Знак неравенства не изменится:

$5 - 8a < 5 - 8b$

Ответ: $5 - 8a < 5 - 8b$.

45. Известно, что $1 \leq m < 2$. Какие из неравенств верны:

1) $-1 \leq -m < -2$;

2) $-2 < -m \leq -1$;

3) $-1 \geq -m > -2$;

4) $-2 > -m \geq -1$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных неравенств верны, мы должны преобразовать исходное неравенство $1 \le m < 2$. Наша цель — получить неравенство для $-m$. Для этого нужно умножить все три части двойного неравенства на $-1$.

Основное свойство неравенств гласит, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства должны быть изменены на противоположные:

• знак $\le$ (меньше или равно) меняется на $\ge$ (больше или равно);
• знак < (меньше) меняется на $>$ (больше).

Применим это правило к нашему неравенству $1 \le m < 2$:

$1 \cdot (-1) \ge m \cdot (-1) > 2 \cdot (-1)$

В результате получаем верное неравенство для $-m$:

$-1 \ge -m > -2$

Это неравенство можно записать в более привычном виде, расположив числа в порядке возрастания. Оно полностью эквивалентно следующей записи:

$-2 < -m \le -1$

Теперь, имея правильный результат в двух эквивалентных формах, проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $-1 \le -m < -2$

Это неравенство неверно. Оно утверждает, что существует число ($-m$), которое одновременно больше или равно $-1$ и строго меньше $-2$. Таких чисел не существует. Например, любое число, которое $\ge -1$ (как $-1, 0, 0.5$), не может быть меньше $-2$.

Ответ: Неверно.

2) $-2 < -m \le -1$

Это неравенство является верным. Оно в точности совпадает со второй формой записи результата, который мы получили. Оно означает, что $-m$ находится в полуинтервале от $-2$ до $-1$, не включая $-2$ и включая $-1$.

Ответ: Верно.

3) $-1 \ge -m > -2$

Это неравенство также является верным. Оно в точности совпадает с первой формой записи результата, который мы получили сразу после умножения исходного неравенства на $-1$.

Ответ: Верно.

4) $-2 > -m \ge -1$

Это неравенство неверно. Оно утверждает, что существует число ($-m$), которое одновременно строго меньше $-2$ и больше или равно $-1$. Это логическое противоречие. Например, любое число, которое $< -2$ (как $-2.1, -3$), не может быть больше или равно $-1$.

Ответ: Неверно.

46. Дано: $-3a > -3b$. Сравните:

1) $a$ и $b$;

2) $\frac{2}{7}a$ и $\frac{2}{7}b$;

3) $b - 4$ и $a - 4$;

4) $-\frac{5}{9}b$ и $-\frac{5}{9}a$;

5) $3a + 2$ и $3b + 2$;

6) $-5a + 10$ и $-5b + 10$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать свойства числовых неравенств. Основным свойством, которое нам понадобится, является следующее: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. При умножении или делении на положительное число, а также при прибавлении или вычитании любого числа, знак неравенства сохраняется.

Исходное неравенство: $-3a > -3b$.

1) а и b

Чтобы сравнить $a$ и $b$, разделим обе части исходного неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный.

$\frac{-3a}{-3} < \frac{-3b}{-3}$

Выполнив деление, получаем:

$a < b$

Ответ: $a < b$.

2) $\frac{2}{7}a$ и $\frac{2}{7}b$

Из пункта 1 мы установили, что $a < b$. Теперь умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{2}{7}$. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{2}{7} \cdot a < \frac{2}{7} \cdot b$

$\frac{2}{7}a < \frac{2}{7}b$

Ответ: $\frac{2}{7}a < \frac{2}{7}b$.

3) b – 4 и a – 4

Мы знаем, что $a < b$. Это то же самое, что и $b > a$. Вычтем из обеих частей неравенства $a < b$ число 4. При вычитании одного и того же числа знак неравенства не меняется.

$a - 4 < b - 4$

Следовательно, $b-4$ больше, чем $a-4$.

Ответ: $b - 4 > a - 4$.

4) $-\frac{5}{9}b$ и $-\frac{5}{9}a$

Возьмем неравенство $a < b$ из первого пункта. Умножим обе части на отрицательное число $-\frac{5}{9}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

$a \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) > b \cdot \left(-\frac{5}{9}\right)$

$-\frac{5}{9}a > -\frac{5}{9}b$

Это означает, что $-\frac{5}{9}b$ меньше, чем $-\frac{5}{9}a$.

Ответ: $-\frac{5}{9}b < -\frac{5}{9}a$.

5) 3a + 2 и 3b + 2

Начнем с неравенства $a < b$. Сначала умножим обе части на положительное число 3. Знак неравенства сохранится.

$3a < 3b$

Затем прибавим к обеим частям число 2. Знак неравенства снова не изменится.

$3a + 2 < 3b + 2$

Ответ: $3a + 2 < 3b + 2$.

6) -5a + 10 и -5b + 10

Опять начнем с неравенства $a < b$. Сначала умножим обе части на отрицательное число -5, изменив знак неравенства на противоположный.

$-5a > -5b$

Теперь прибавим к обеим частям число 10. Знак неравенства при этом не изменится.

$-5a + 10 > -5b + 10$

Ответ: $-5a + 10 > -5b + 10$.

47. Известно, что $a > b$. Расположите в порядке убывания числа $a + 7$, $b - 3$, $a + 4$, $b - 2$, $b$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, нам нужно сравнить их между собой, используя известное неравенство $a > b$.

Заданы числа: $a + 7, b - 3, a + 4, b - 2, b$.

1. Сравним числа, содержащие переменную $a$: $a + 7$ и $a + 4$.
Поскольку $7 > 4$, то, прибавив к обеим частям этого неравенства число $a$, получим, что $a + 7 > a + 4$.

2. Сравним числа, содержащие переменную $b$: $b, b - 2$ и $b - 3$.
Поскольку $0 > -2 > -3$, то, прибавив к каждой части этого двойного неравенства число $b$, получим $b > b - 2 > b - 3$.

3. Теперь необходимо связать эти две группы чисел. Для этого сравним наименьшее число из группы с $a$ (это $a + 4$) и наибольшее число из группы с $b$ (это $b$).
Нам дано, что $a > b$.
Рассмотрим разность выражений $(a + 4)$ и $b$:
$(a + 4) - b = (a - b) + 4$.
Так как по условию $a > b$, то разность $a - b$ является положительным числом: $a - b > 0$.
Следовательно, сумма $(a - b) + 4$ также будет положительным числом, и более того, она будет больше 4.
Поскольку разность $(a + 4) - b$ положительна, то $a + 4 > b$.

4. Объединим все полученные неравенства в одну общую последовательность.
Мы установили, что:
$a + 7 > a + 4$
$a + 4 > b$
$b > b - 2 > b - 3$
Собирая их вместе, получаем итоговый порядок убывания:
$a + 7 > a + 4 > b > b - 2 > b - 3$.

Ответ: $a + 7, a + 4, b, b - 2, b - 3$.

48. Дано: $a < b$. Сравните:

1) $a - 5$ и $b$;

2) $a$ и $b + 6$;

3) $a + 3$ и $b - 2$.

1) $a - 5$ и $b$

Для сравнения двух выражений найдем их разность. Если разность положительна, то первое выражение больше второго; если отрицательна — то меньше; если равна нулю — то выражения равны.

Составим разность выражений $a - 5$ и $b$: $(a - 5) - b = a - b - 5$.

По условию задачи дано неравенство $a < b$. Перенесем $b$ в левую часть, чтобы оценить знак разности $a - b$: $a - b < 0$. Это означает, что разность $a - b$ является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим выражение $a - b - 5$. Мы вычитаем 5 из отрицательного числа $(a - b)$. Результат будет числом, которое еще меньше (более отрицательное), чем $a - b$. Следовательно, вся разность отрицательна: $a - b - 5 < 0$.

Поскольку разность $(a - 5) - b$ отрицательна, то уменьшаемое $(a - 5)$ меньше вычитаемого $b$.

Ответ: $a - 5 < b$.

2) $a$ и $b + 6$

Сравним выражения $a$ и $b + 6$ с помощью метода разности.

Составим их разность: $a - (b + 6) = a - b - 6$.

Как и в предыдущем пункте, из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна: $a - b < 0$.

Вычитая 6 из отрицательного числа $(a - b)$, мы получим еще более отрицательное число: $a - b - 6 < 0$.

Так как разность $a - (b + 6)$ отрицательна, первое выражение $a$ меньше второго $b + 6$.

Ответ: $a < b + 6$.

3) $a + 3$ и $b - 2$

Сравним выражения $a + 3$ и $b - 2$, найдя их разность.

Составим разность: $(a + 3) - (b - 2) = a + 3 - b + 2 = (a - b) + 5$.

Из условия $a < b$ мы знаем, что $a - b < 0$. Однако, прибавляя 5 к отрицательному числу $(a - b)$, мы не можем однозначно определить знак результата. Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Продемонстрируем это на примерах:

• Если взять $a = 1$ и $b = 10$, то условие $a < b$ выполняется. Сравниваемые выражения: $a + 3 = 1 + 3 = 4$ и $b - 2 = 10 - 2 = 8$. В этом случае $4 < 8$, то есть $a + 3 < b - 2$. Разность $(a - b) + 5 = (1 - 10) + 5 = -9 + 5 = -4$, что является отрицательным числом.
• Если взять $a = 3$ и $b = 4$, то условие $a < b$ выполняется. Сравниваемые выражения: $a + 3 = 3 + 3 = 6$ и $b - 2 = 4 - 2 = 2$. В этом случае $6 > 2$, то есть $a + 3 > b - 2$. Разность $(a - b) + 5 = (3 - 4) + 5 = -1 + 5 = 4$, что является положительным числом.
• Если взять $a = 1$ и $b = 6$, то условие $a < b$ выполняется. Сравниваемые выражения: $a + 3 = 1 + 3 = 4$ и $b - 2 = 6 - 2 = 4$. В этом случае $4 = 4$, то есть $a + 3 = b - 2$. Разность $(a - b) + 5 = (1 - 6) + 5 = -5 + 5 = 0$.

Поскольку результат сравнения зависит от конкретных значений $a$ и $b$ (а не только от того, что $a < b$), сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.

49. Сравните числа $a$ и $b$, если известно, что:

1) $a > c$ и $c > b + 3$;

2) $a > c$ и $c - 1 > b + d^2$,

где $c$ и $d$ – некоторые числа.

1)

По условию даны два неравенства: $a > c$ и $c > b + 3$.

Воспользуемся свойством транзитивности для неравенств: если одно число больше второго, а второе, в свою очередь, больше третьего, то первое число больше третьего.

В данном случае, так как $a > c$ и $c > b + 3$, мы можем объединить эти неравенства и сделать вывод, что $a$ больше, чем $b + 3$.
$a > b + 3$.

Теперь сравним числа $a$ и $b$. Для этого рассмотрим разность $a - b$. Из неравенства $a > b + 3$ следует, что $a - b > 3$.

Поскольку $3$ — положительное число ($3 > 0$), то и разность $a - b$ также является положительной. Если разность двух чисел положительна, это означает, что первое число (уменьшаемое) больше второго (вычитаемого).
Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

2)

По условию даны два неравенства: $a > c$ и $c - 1 > b + d^2$.

Сначала преобразуем второе неравенство. Прибавим к обеим его частям 1, чтобы выразить $c$:
$c - 1 + 1 > b + d^2 + 1$
$c > b + d^2 + 1$.

Теперь мы имеем систему из двух неравенств: $a > c$ и $c > b + d^2 + 1$.
Снова применяем свойство транзитивности. Так как $a > c$ и $c > b + d^2 + 1$, мы можем заключить, что:
$a > b + d^2 + 1$.

Чтобы на основании этого неравенства сравнить $a$ и $b$, проанализируем выражение $d^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $d$ является неотрицательным числом, то есть $d^2 \ge 0$.
Если к обеим частям этого неравенства прибавить 1, получим:
$d^2 + 1 \ge 1$.

Это означает, что выражение $d^2 + 1$ всегда является положительным числом (оно больше или равно 1).
Вернемся к неравенству $a > b + d^2 + 1$. Мы можем записать его как $a - b > d^2 + 1$.
Так как $d^2 + 1 \ge 1$, то отсюда следует, что $a - b > 1$.
Поскольку разность $a - b$ больше 1 (а значит, строго больше 0), то число $a$ больше числа $b$.

Ответ: $a > b$.

50. Сравните числа a и 0, если:

1) $7a < 8a$;

2) $\frac{a}{2} < \frac{a}{3}$;

3) $-6a > -8a$;

4) $-0,02a > -0,2a$.

1) Чтобы сравнить число $a$ с нулем, решим заданное неравенство $7a < 8a$. Перенесем все члены, содержащие $a$, в одну сторону. Для этого вычтем $7a$ из обеих частей неравенства:
$7a - 7a < 8a - 7a$
$0 < a$
Неравенство $a > 0$ показывает, что число $a$ является положительным.
Ответ: $a > 0$.

2) Рассмотрим неравенство $\frac{a}{2} < \frac{a}{3}$. Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьший общий знаменатель, который равен 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства сохранится:
$6 \cdot \frac{a}{2} < 6 \cdot \frac{a}{3}$
$3a < 2a$
Теперь перенесем все члены с $a$ в левую часть, вычитая $2a$ из обеих частей:
$3a - 2a < 0$
$a < 0$
Следовательно, число $a$ является отрицательным.
Ответ: $a < 0$.

3) Дано неравенство $-6a > -8a$. Для его решения соберем все члены с $a$ в одной части. Прибавим $8a$ к обеим частям неравенства:
$-6a + 8a > -8a + 8a$
$2a > 0$
Разделим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства не меняется:
$\frac{2a}{2} > \frac{0}{2}$
$a > 0$
Это означает, что число $a$ положительное.
Ответ: $a > 0$.

4) Рассмотрим неравенство $-0,02a > -0,2a$. Перенесем все члены, содержащие $a$, в левую часть. Для этого прибавим $0,2a$ к обеим частям:
$-0,02a + 0,2a > -0,2a + 0,2a$
$0,18a > 0$
Теперь разделим обе части на 0,18. Так как 0,18 — положительное число, знак неравенства остается прежним:
$\frac{0,18a}{0,18} > \frac{0}{0,18}$
$a > 0$
Таким образом, число $a$ является положительным.
Ответ: $a > 0$.

51. Дано: $a > -2$. Докажите, что:

1) $7a + 10 > -4$;

2) $-6a - 3 < 10$.

1)

Для доказательства будем использовать свойства числовых неравенств. Нам дано неравенство $a > -2$. Наша цель — преобразовать его к виду $7a + 10 > -4$.

1. Умножим обе части исходного неравенства на положительное число 7. Согласно свойству неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства не меняется:

$a \cdot 7 > -2 \cdot 7$

$7a > -14$

2. Теперь прибавим к обеим частям полученного неравенства число 10. Согласно свойству неравенств, при прибавлении любого числа к обеим частям знак неравенства не меняется:

$7a + 10 > -14 + 10$

$7a + 10 > -4$

Таким образом, мы доказали, что из $a > -2$ следует $7a + 10 > -4$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Аналогично, начнем с данного неравенства $a > -2$ и преобразуем его к виду $-6a - 3 < 10$.

1. Умножим обе части исходного неравенства на отрицательное число -6. Согласно свойству неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (знак «больше» на знак «меньше»):

$a \cdot (-6) < -2 \cdot (-6)$

$-6a < 12$

2. Теперь вычтем из обеих частей полученного неравенства число 3. Знак неравенства при этом не изменится:

$-6a - 3 < 12 - 3$

$-6a - 3 < 9$

Мы получили, что выражение $-6a - 3$ меньше 9. Поскольку число 9, в свою очередь, меньше 10 ($9 < 10$), то из того, что $-6a - 3 < 9$, следует, что $-6a - 3 < 10$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

52. Дано: $b \le 10$. Докажите, что:

1) $5b - 9 \le 41$;

2) $1 - 2b > -21$.

1)

Для доказательства неравенства $5b - 9 \le 41$ воспользуемся данным условием $b \le 10$.
Согласно свойствам числовых неравенств, мы можем умножить обе части неравенства на одно и то же положительное число, при этом знак неравенства не меняется. Умножим обе части исходного неравенства на 5:
$b \cdot 5 \le 10 \cdot 5$
$5b \le 50$
Теперь вычтем 9 из обеих частей полученного неравенства. При вычитании одного и того же числа из обеих частей знак неравенства также не меняется:
$5b - 9 \le 50 - 9$
$5b - 9 \le 41$
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Неравенство $5b - 9 \le 41$ доказано, так как оно является следствием исходного неравенства $b \le 10$.

2)

Для доказательства неравенства $1 - 2b > -21$ также используем условие $b \le 10$.
Умножим обе части исходного неравенства на -2. Согласно свойству числовых неравенств, при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $ \le $ на $ \ge $):
$b \cdot (-2) \ge 10 \cdot (-2)$
$-2b \ge -20$
Теперь прибавим 1 к обеим частям неравенства. Знак неравенства при этом не изменится:
$1 - 2b \ge 1 + (-20)$
$1 - 2b \ge -19$
Поскольку любое число, которое больше или равно -19, также будет строго больше -21 (так как $-19 > -21$), то из полученного нами неравенства $1 - 2b \ge -19$ следует, что $1 - 2b > -21$.
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Неравенство $1 - 2b > -21$ доказано, так как оно является следствием исходного неравенства $b \le 10$.

53. Верно ли утверждение:

1) если $a > b$, то $a > -b$;

2) если $a > b$, то $2a > b$;

3) если $a > b$, то $2a + 1 > 2b$;

4) если $b > a$, то $\frac{b}{a} > 1$;

5) если $a > b + 2$ и $b - 3 > 4$, то $a > 9$;

6) если $a > b$, то $ab > b^2$;

7) поскольку $5 > 3$, то $5a^2 > 3a^2$;

8) поскольку $5 > 3$, то $5(a^2 + 1) > 3(a^2 + 1)$?

1) если a > b, то a > -b;

Утверждение неверно. Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = -2$ и $b = -5$. Условие $a > b$ выполняется, так как $-2 > -5$. Теперь проверим следствие $a > -b$. Подставив наши значения, получим $-2 > -(-5)$, что равносильно неравенству $-2 > 5$. Это очевидно ложно. Таким образом, утверждение не является верным для всех $a$ и $b$.

Ответ: неверно.

2) если a > b, то 2a > b;

Утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Пусть $a = -1$ и $b = -1.5$. Условие $a > b$ истинно, поскольку $-1 > -1.5$. Проверим следствие $2a > b$. Подставим значения: $2 \cdot (-1) > -1.5$, что приводит к неравенству $-2 > -1.5$. Это неравенство ложно, так как на числовой прямой $-2$ находится левее, чем $-1.5$.

Ответ: неверно.

3) если a > b, то 2a + 1 > 2b;

Утверждение верно. Докажем это с помощью свойств числовых неравенств.
1. Исходное неравенство: $a > b$.
2. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства при этом сохранится: $2a > 2b$.
3. Прибавим к обеим частям число 1. Знак неравенства снова не изменится: $2a + 1 > 2b + 1$.
4. Мы знаем, что любое число больше, если от него отнять 1, поэтому $2b + 1 > 2b$.
5. Теперь у нас есть цепочка неравенств: $2a + 1 > 2b + 1$ и $2b + 1 > 2b$. По свойству транзитивности, из этого следует, что $2a + 1 > 2b$.

Ответ: верно.

4) если b > a, то $\frac{b}{a} > 1$;

Утверждение неверно. При делении обеих частей неравенства на число, необходимо учитывать знак этого числа. Если $a > 0$, то из $b > a$ действительно следует $\frac{b}{a} > 1$. Однако, если $a < 0$, знак неравенства должен быть изменен на противоположный, и мы получим $\frac{b}{a} < 1$.
Приведем контрпример. Пусть $b = -2$ и $a = -4$. Условие $b > a$ выполняется, так как $-2 > -4$. Проверим следствие: $\frac{b}{a} > 1$. Подставим значения: $\frac{-2}{-4} > 1$, что равносильно $\frac{1}{2} > 1$. Это неравенство ложно.

Ответ: неверно.

5) если a > b + 2 и b - 3 > 4, то a > 9;

Утверждение верно. Решим систему неравенств.
1. Из второго неравенства $b - 3 > 4$ найдем ограничение для $b$. Прибавив 3 к обеим частям, получим $b > 7$.
2. Теперь используем этот результат. Поскольку $b > 7$, то $b+2 > 7+2$, что означает $b+2 > 9$.
3. У нас есть два неравенства: $a > b + 2$ (из условия) и $b + 2 > 9$ (из нашего вывода).
4. Применяя свойство транзитивности (если $X > Y$ и $Y > Z$, то $X > Z$), мы можем заключить, что $a > 9$.

Ответ: верно.

6) если a > b, то ab > b²;

Утверждение неверно. Знак неравенства при умножении на $b$ зависит от знака самого $b$.
Если $b > 0$, то знак сохранится: $ab > b^2$.
Если $b < 0$, то знак изменится на противоположный: $ab < b^2$.
Если $b = 0$, то неравенство примет вид $a \cdot 0 > 0^2$, то есть $0 > 0$, что ложно.
Контрпример: пусть $b = -3$. Из условия $a > b$ выберем $a=2$. Условие $2 > -3$ истинно. Проверим следствие $ab > b^2$: $2 \cdot (-3) > (-3)^2$, что равносильно $-6 > 9$. Это ложное неравенство.

Ответ: неверно.

7) поскольку 5 > 3, то 5a² > 3a²;

Утверждение неверно. Умножать обе части верного неравенства $5 > 3$ можно только на строго положительное число, чтобы сохранить знак. Выражение $a^2$ является неотрицательным ($a^2 \ge 0$), но не всегда строго положительным.
Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и умножение на $a^2$ дает верное неравенство $5a^2 > 3a^2$.
Однако, если $a = 0$, то $a^2 = 0$. В этом случае итоговое неравенство превращается в $5 \cdot 0 > 3 \cdot 0$, то есть $0 > 0$, что является ложным.
Так как утверждение не выполняется для $a=0$, оно неверно в общем виде.

Ответ: неверно.

8) поскольку 5 > 3, то 5(a² + 1) > 3(a² + 1)?

Утверждение верно. Мы исходим из верного неравенства $5 > 3$. Чтобы получить итоговое неравенство, нужно умножить обе части на выражение $(a^2 + 1)$.
Проанализируем знак этого выражения. Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ неотрицателен: $a^2 \ge 0$.
Следовательно, $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$.
Это означает, что выражение $(a^2 + 1)$ всегда является строго положительным. При умножении обеих частей верного неравенства на строго положительное число, знак неравенства сохраняется. Таким образом, утверждение $5(a^2 + 1) > 3(a^2 + 1)$ всегда истинно.

Ответ: верно.