Номер 45, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

45. Известно, что $1 \leq m < 2$. Какие из неравенств верны:

1) $-1 \leq -m < -2$;

2) $-2 < -m \leq -1$;

3) $-1 \geq -m > -2$;

4) $-2 > -m \geq -1$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных неравенств верны, мы должны преобразовать исходное неравенство $1 \le m < 2$. Наша цель — получить неравенство для $-m$. Для этого нужно умножить все три части двойного неравенства на $-1$.

Основное свойство неравенств гласит, что при умножении на отрицательное число знаки неравенства должны быть изменены на противоположные:

• знак $\le$ (меньше или равно) меняется на $\ge$ (больше или равно);
• знак < (меньше) меняется на $>$ (больше).

Применим это правило к нашему неравенству $1 \le m < 2$:

$1 \cdot (-1) \ge m \cdot (-1) > 2 \cdot (-1)$

В результате получаем верное неравенство для $-m$:

$-1 \ge -m > -2$

Это неравенство можно записать в более привычном виде, расположив числа в порядке возрастания. Оно полностью эквивалентно следующей записи:

$-2 < -m \le -1$

Теперь, имея правильный результат в двух эквивалентных формах, проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $-1 \le -m < -2$

Это неравенство неверно. Оно утверждает, что существует число ($-m$), которое одновременно больше или равно $-1$ и строго меньше $-2$. Таких чисел не существует. Например, любое число, которое $\ge -1$ (как $-1, 0, 0.5$), не может быть меньше $-2$.

Ответ: Неверно.

2) $-2 < -m \le -1$

Это неравенство является верным. Оно в точности совпадает со второй формой записи результата, который мы получили. Оно означает, что $-m$ находится в полуинтервале от $-2$ до $-1$, не включая $-2$ и включая $-1$.

Ответ: Верно.

3) $-1 \ge -m > -2$

Это неравенство также является верным. Оно в точности совпадает с первой формой записи результата, который мы получили сразу после умножения исходного неравенства на $-1$.

Ответ: Верно.

4) $-2 > -m \ge -1$

Это неравенство неверно. Оно утверждает, что существует число ($-m$), которое одновременно строго меньше $-2$ и больше или равно $-1$. Это логическое противоречие. Например, любое число, которое $< -2$ (как $-2.1, -3$), не может быть больше или равно $-1$.

Ответ: Неверно.