Номер 48, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

48. Дано: $a < b$. Сравните:

1) $a - 5$ и $b$;

2) $a$ и $b + 6$;

3) $a + 3$ и $b - 2$.

1) $a - 5$ и $b$

Для сравнения двух выражений найдем их разность. Если разность положительна, то первое выражение больше второго; если отрицательна — то меньше; если равна нулю — то выражения равны.

Составим разность выражений $a - 5$ и $b$: $(a - 5) - b = a - b - 5$.

По условию задачи дано неравенство $a < b$. Перенесем $b$ в левую часть, чтобы оценить знак разности $a - b$: $a - b < 0$. Это означает, что разность $a - b$ является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим выражение $a - b - 5$. Мы вычитаем 5 из отрицательного числа $(a - b)$. Результат будет числом, которое еще меньше (более отрицательное), чем $a - b$. Следовательно, вся разность отрицательна: $a - b - 5 < 0$.

Поскольку разность $(a - 5) - b$ отрицательна, то уменьшаемое $(a - 5)$ меньше вычитаемого $b$.

Ответ: $a - 5 < b$.

2) $a$ и $b + 6$

Сравним выражения $a$ и $b + 6$ с помощью метода разности.

Составим их разность: $a - (b + 6) = a - b - 6$.

Как и в предыдущем пункте, из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна: $a - b < 0$.

Вычитая 6 из отрицательного числа $(a - b)$, мы получим еще более отрицательное число: $a - b - 6 < 0$.

Так как разность $a - (b + 6)$ отрицательна, первое выражение $a$ меньше второго $b + 6$.

Ответ: $a < b + 6$.

3) $a + 3$ и $b - 2$

Сравним выражения $a + 3$ и $b - 2$, найдя их разность.

Составим разность: $(a + 3) - (b - 2) = a + 3 - b + 2 = (a - b) + 5$.

Из условия $a < b$ мы знаем, что $a - b < 0$. Однако, прибавляя 5 к отрицательному числу $(a - b)$, мы не можем однозначно определить знак результата. Он может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Продемонстрируем это на примерах:

• Если взять $a = 1$ и $b = 10$, то условие $a < b$ выполняется. Сравниваемые выражения: $a + 3 = 1 + 3 = 4$ и $b - 2 = 10 - 2 = 8$. В этом случае $4 < 8$, то есть $a + 3 < b - 2$. Разность $(a - b) + 5 = (1 - 10) + 5 = -9 + 5 = -4$, что является отрицательным числом.
• Если взять $a = 3$ и $b = 4$, то условие $a < b$ выполняется. Сравниваемые выражения: $a + 3 = 3 + 3 = 6$ и $b - 2 = 4 - 2 = 2$. В этом случае $6 > 2$, то есть $a + 3 > b - 2$. Разность $(a - b) + 5 = (3 - 4) + 5 = -1 + 5 = 4$, что является положительным числом.
• Если взять $a = 1$ и $b = 6$, то условие $a < b$ выполняется. Сравниваемые выражения: $a + 3 = 1 + 3 = 4$ и $b - 2 = 6 - 2 = 4$. В этом случае $4 = 4$, то есть $a + 3 = b - 2$. Разность $(a - b) + 5 = (1 - 6) + 5 = -5 + 5 = 0$.

Поскольку результат сравнения зависит от конкретных значений $a$ и $b$ (а не только от того, что $a < b$), сделать однозначный вывод невозможно.

Ответ: Сравнить невозможно.