Номер 49, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

49. Сравните числа $a$ и $b$, если известно, что:

1) $a > c$ и $c > b + 3$;

2) $a > c$ и $c - 1 > b + d^2$,

где $c$ и $d$ – некоторые числа.

1)

По условию даны два неравенства: $a > c$ и $c > b + 3$.

Воспользуемся свойством транзитивности для неравенств: если одно число больше второго, а второе, в свою очередь, больше третьего, то первое число больше третьего.

В данном случае, так как $a > c$ и $c > b + 3$, мы можем объединить эти неравенства и сделать вывод, что $a$ больше, чем $b + 3$.
$a > b + 3$.

Теперь сравним числа $a$ и $b$. Для этого рассмотрим разность $a - b$. Из неравенства $a > b + 3$ следует, что $a - b > 3$.

Поскольку $3$ — положительное число ($3 > 0$), то и разность $a - b$ также является положительной. Если разность двух чисел положительна, это означает, что первое число (уменьшаемое) больше второго (вычитаемого).
Следовательно, $a > b$.

Ответ: $a > b$.

2)

По условию даны два неравенства: $a > c$ и $c - 1 > b + d^2$.

Сначала преобразуем второе неравенство. Прибавим к обеим его частям 1, чтобы выразить $c$:
$c - 1 + 1 > b + d^2 + 1$
$c > b + d^2 + 1$.

Теперь мы имеем систему из двух неравенств: $a > c$ и $c > b + d^2 + 1$.
Снова применяем свойство транзитивности. Так как $a > c$ и $c > b + d^2 + 1$, мы можем заключить, что:
$a > b + d^2 + 1$.

Чтобы на основании этого неравенства сравнить $a$ и $b$, проанализируем выражение $d^2 + 1$. Квадрат любого действительного числа $d$ является неотрицательным числом, то есть $d^2 \ge 0$.
Если к обеим частям этого неравенства прибавить 1, получим:
$d^2 + 1 \ge 1$.

Это означает, что выражение $d^2 + 1$ всегда является положительным числом (оно больше или равно 1).
Вернемся к неравенству $a > b + d^2 + 1$. Мы можем записать его как $a - b > d^2 + 1$.
Так как $d^2 + 1 \ge 1$, то отсюда следует, что $a - b > 1$.
Поскольку разность $a - b$ больше 1 (а значит, строго больше 0), то число $a$ больше числа $b$.

Ответ: $a > b$.