Номер 42, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

42. Известно, что $a > 4$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $a - 3;$

2) $2 - a;$

3) $(a - 3)(a - 2);$

4) $\frac{(a - 4)(a - 2)}{3 - a};$

5) $(1 - a)^2(4 - a).$

1) По условию дано неравенство $a > 4$. Чтобы сравнить значение выражения $a-3$ с нулём, необходимо преобразовать исходное неравенство. Вычтем число 3 из обеих частей неравенства $a > 4$:
$a - 3 > 4 - 3$
$a - 3 > 1$
Поскольку $1 > 0$, то и выражение $a-3$ больше нуля.
Ответ: $a - 3 > 0$.

2) Используем исходное условие $a > 4$. Чтобы определить знак выражения $2-a$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-a < -4$
Теперь прибавим число 2 к обеим частям полученного неравенства:
$2 - a < 2 - 4$
$2 - a < -2$
Так как $-2 < 0$, то и выражение $2-a$ меньше нуля.
Ответ: $2 - a < 0$.

3) Чтобы определить знак произведения $(a - 3)(a - 2)$, нужно определить знак каждого из множителей, учитывая, что $a > 4$.
Оценим первый множитель $(a-3)$. Из $a > 4$ следует, что $a - 3 > 4 - 3$, то есть $a - 3 > 1$. Значит, первый множитель положителен.
Оценим второй множитель $(a-2)$. Из $a > 4$ следует, что $a - 2 > 4 - 2$, то есть $a - 2 > 2$. Значит, второй множитель также положителен.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом.
Ответ: $(a - 3)(a - 2) > 0$.

4) Для сравнения дроби $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a}$ с нулём, определим знаки числителя и знаменателя при $a > 4$.
Числитель: $(a - 4)(a - 2)$.
- Множитель $(a-4)$: так как $a>4$, то $a-4 > 0$ (положительный).
- Множитель $(a-2)$: так как $a>4$, то $a-2 > 2$, значит $a-2 > 0$ (положительный).
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, числитель $(a - 4)(a - 2) > 0$.
Знаменатель: $(3 - a)$.
Из $a > 4$ следует, что $-a < -4$. Прибавив 3, получим $3-a < 3-4$, то есть $3-a < -1$. Знаменатель отрицателен.
При делении положительного числителя на отрицательный знаменатель результат будет отрицательным.
Ответ: $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a} < 0$.

5) Чтобы сравнить выражение $(1 - a)^2(4 - a)$ с нулём, определим знак каждого множителя при $a > 4$.
Первый множитель: $(1 - a)^2$.
Поскольку $a > 4$, то $a \neq 1$, значит $1 - a \neq 0$. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является положительным числом. Следовательно, $(1 - a)^2 > 0$.
Второй множитель: $(4 - a)$.
Так как $a > 4$, то $4 - a$ будет отрицательным числом. Формально: $a > 4 \implies -a < -4 \implies 4-a < 4-4 \implies 4-a < 0$.
Произведение положительного числа $(1 - a)^2$ на отрицательное число $(4 - a)$ дает отрицательный результат.
Ответ: $(1 - a)^2(4 - a) < 0$.