Страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какое из чисел – $a$ или $c$ – больше, если известно, что $a > b$ и $b > c$?

Из условий задачи нам даны два неравенства: $a > b$ и $b > c$. Согласно свойству транзитивности неравенств, если одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое число больше третьего. Таким образом, из заданных условий мы можем сделать вывод, что $a > c$.

Нам необходимо сравнить числа $-a$ и $c$. Для этого рассмотрим несколько возможных случаев, так как в условии не указаны знаки чисел $a, b$ и $c$.

Случай 1: Все числа положительные.
Возьмем конкретные значения, удовлетворяющие условию $a > b > c$. Например, пусть $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$.
Сравним $-a$ и $c$. В этом случае $-a = -3$, а $c = 1$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $1 > -3$. Следовательно, в этом случае $c > -a$.

Случай 2: Все числа отрицательные.
Возьмем другие значения, удовлетворяющие условию $a > b > c$. Например, пусть $a = -2$, $b = -3$, $c = -4$.
Сравним $-a$ и $c$. В этом случае $-a = -(-2) = 2$, а $c = -4$.
Так как любое положительное число больше любого отрицательного, то $2 > -4$. Следовательно, в этом случае $-a > c$.

Мы рассмотрели два случая, которые оба удовлетворяют исходному условию $a > b > c$. В первом случае оказалось, что $c > -a$, а во втором — что $-a > c$. Поскольку мы получили разные результаты, это означает, что на основании данных задачи невозможно однозначно определить, какое из чисел, $-a$ или $c$, больше.

Ответ: Недостаточно данных для однозначного ответа.

2. Сформулируйте теорему о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа.

Теорема о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа формулируется следующим образом: если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, причём знак неравенства не изменится.

Это свойство можно записать в общем виде с помощью переменных. Пусть $a$, $b$ и $c$ — любые действительные числа. Тогда:
- если $a > b$, то $a + c > b + c$;
- если $a < b$, то $a + c < b + c$;
- если $a \ge b$, то $a + c \ge b + c$;
- если $a \le b$, то $a + c \le b + c$.

Доказательство для знака ">":
По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Рассмотрим разность левой и правой частей нового неравенства $a + c > b + c$:
$(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.
Так как по условию $a - b > 0$, то и разность $(a + c) - (b + c)$ тоже положительна. А это, по определению, означает, что $a + c > b + c$. Доказательство для других знаков неравенства проводится аналогично.

Пример:
Возьмем верное неравенство $8 > 3$.
1. Прибавим к обеим частям число 5:
$8 + 5 > 3 + 5$
$13 > 8$ (получилось верное неравенство).
2. Вычтем из обеих частей число 2 (что равносильно прибавлению -2):
$8 - 2 > 3 - 2$
$6 > 1$ (получилось верное неравенство).

Следствие:
Эта теорема позволяет переносить любое слагаемое из одной части неравенства в другую, изменяя его знак на противоположный. Это является одним из основных методов при решении неравенств. Например, из неравенства $x + 7 < 10$ следует $x < 10 - 7$.

Ответ: Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число (или из обеих частей вычесть одно и то же число), то получится верное неравенство того же знака. В виде формулы: для любых чисел $a, b, c$, если $a > b$, то $a + c > b + c$.

3. Сформулируйте следствие из теоремы о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа.

Теорема, о которой идет речь, гласит: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. На основе этой теоремы можно сформулировать важное следствие, которое широко используется при решении неравенств.

Следствие:
Любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую, изменив знак этого члена на противоположный. При этом знак самого неравенства не меняется.

Обоснование и пример:
Пусть дано неравенство $a + b > c$.
Согласно основной теореме, мы имеем право прибавить к обеим частям этого неравенства любое число. Прибавим число $(-b)$:
$(a + b) + (-b) > c + (-b)$
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых в левой части получаем:
$a + b - b > c - b$
$a > c - b$
Сравнивая исходное неравенство $a + b > c$ с итоговым $a > c - b$, мы видим, что член $b$ был перенесен из левой части в правую, а его знак изменился с «+» на «−».

Ответ: Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую, поменяв его знак на противоположный.

4. Сформулируйте теорему об умножении обеих частей неравенства на одно и то же число.

Теорема об умножении обеих частей неравенства на одно и то же число формулируется в виде двух правил, которые зависят от знака этого числа.

Правило 1: Умножение на положительное число

Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить. В результате получится новое верное неравенство.

В общем виде:

Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$.

Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Пример: Возьмем верное неравенство $15 > 6$. Умножим обе части на положительное число $2$:
$15 \cdot 2 > 6 \cdot 2$
$30 > 12$. Неравенство осталось верным, его знак сохранился.

Правило 2: Умножение на отрицательное число

Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить на противоположный (то есть, знак < на $>$, $>$ на <, $\leq$ на $\geq$, $\geq$ на $\leq$). В результате получится новое верное неравенство.

В общем виде:

Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$.

Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Пример: Снова возьмем неравенство $15 > 6$. Умножим обе части на отрицательное число $-3$:
$15 \cdot (-3) < 6 \cdot (-3)$
$-45 < -18$. Неравенство является верным, а его знак был изменен на противоположный.

Ответ: При умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же число:
1. Если это число положительное, то знак неравенства сохраняется.
2. Если это число отрицательное, то знак неравенства изменяется на противоположный.

36. Известно, что $a > 6$. Верно ли неравенство:

1) $a > 4$;

2) $a \geq 5,9$;

3) $a > 7$?

1) $a > 4$

По условию дано, что $a > 6$. Это значит, что переменная $a$ принимает значения, которые строго больше 6. На числовой оси эти значения расположены правее точки 6.
Необходимо определить, всегда ли из этого следует, что $a > 4$.
Так как любое число, которое больше 6, заведомо больше и 4 (поскольку $6 > 4$), то данное утверждение является верным. Это следует из свойства транзитивности для строгих неравенств: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$. В нашем случае, так как $a > 6$ и $6 > 4$, то можно сделать вывод, что $a > 4$.
Следовательно, неравенство $a > 4$ всегда будет верным.
Ответ: Да, верно.

2) $a \ge 5,9$

Нам известно, что $a > 6$. Проверим, верно ли неравенство $a \ge 5,9$.
Неравенство $a \ge 5,9$ означает, что $a$ больше или равно $5,9$.
Так как $a > 6$ и $6 > 5,9$, то по свойству транзитивности $a > 5,9$.
Если число $a$ строго больше 5,9, то оно удовлетворяет и нестрогому неравенству $a \ge 5,9$ (которое означает "$a$ больше 5,9 или $a$ равно 5,9").
Таким образом, при условии $a > 6$ неравенство $a \ge 5,9$ всегда выполняется.
Ответ: Да, верно.

3) $a > 7$

Дано, что $a > 6$. Проверим, всегда ли в этом случае выполняется неравенство $a > 7$.
Это утверждение не всегда является верным. Условию $a > 6$ удовлетворяют все числа из интервала $(6; +\infty)$. Неравенству $a > 7$ удовлетворяют числа из интервала $(7; +\infty)$.
Множество $(6; +\infty)$ не является подмножеством множества $(7; +\infty)$.
Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести один контрпример — число, которое удовлетворяет условию $a > 6$, но не удовлетворяет неравенству $a > 7$.
Например, возьмем $a = 6,5$.
$6,5 > 6$ — это верное неравенство, исходное условие выполняется.
$6,5 > 7$ — это неверное неравенство.
Поскольку мы нашли значение $a$, при котором исходное условие истинно, а проверяемое неравенство ложно, то утверждение в целом неверно.
Ответ: Нет, неверно.

37. Известно, что $a < b$ и $b < c$. Какое из утверждений верно:

1) $a > c$;

2) $a = c$;

3) $c > a$?

В задаче даны два неравенства: $a < b$ и $b < c$. Требуется определить, какое из предложенных утверждений, связывающих $a$ и $c$, является верным.

Для решения этой задачи используется свойство транзитивности числовых неравенств. Оно заключается в следующем: если число $a$ меньше числа $b$, а число $b$ меньше числа $c$, то число $a$ будет меньше числа $c$.

Математически это можно записать так: из системы неравенств $$ \begin{cases} a < b \\ b < c \end{cases} $$ следует, что $a < c$.

Это также можно представить на числовой прямой. Неравенство $a < b$ означает, что точка $a$ лежит левее точки $b$. Неравенство $b < c$ означает, что точка $b$ лежит левее точки $c$. Совместив эти условия, мы получим, что точки на прямой расположены в порядке $a$, $b$, $c$ (слева направо). Из этого расположения видно, что $a$ находится левее $c$, что и означает $a < c$.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов ответа:

1) a > c;
Это утверждение означает, что "$a$ больше $c$". Оно прямо противоречит полученному нами выводу $a < c$. Следовательно, это утверждение неверно.

2) a = c;
Это утверждение означает, что "$a$ равно $c$". Оно также противоречит выводу $a < c$, поскольку неравенство является строгим. Следовательно, это утверждение неверно.

3) c > a;
Это утверждение означает, что "$c$ больше $a$". Запись $c > a$ является полностью эквивалентной записи $a < c$. Так как мы доказали истинность неравенства $a < c$, то и это утверждение является верным.

Ответ: 3) $c > a$.

38. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) к обеим частям неравенства $-3 < 4$ прибавим число $5$; число $-2$;

2) из обеих частей неравенства $-10 < -6$ вычтем число $3$; число $-4$;

3) обе части неравенства $7 > -2$ умножим на число $5$; на число $-1$;

4) обе части неравенства $12 < 18$ разделим на число $6$; на число $-2$.

1) к обеим частям неравенства $-3 < 4$ прибавим число 5; число -2;

Основное свойство неравенств гласит, что если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.
а) Прибавим к обеим частям неравенства $-3 < 4$ число 5:
$-3 + 5 < 4 + 5$
$2 < 9$
б) Прибавим к обеим частям неравенства $-3 < 4$ число -2:
$-3 + (-2) < 4 + (-2)$
$-5 < 2$
Ответ: $2 < 9$ и $-5 < 2$.

2) из обеих частей неравенства $-10 < -6$ вычтем число 3; число -4;

Если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом не меняется.
а) Вычтем из обеих частей неравенства $-10 < -6$ число 3:
$-10 - 3 < -6 - 3$
$-13 < -9$
б) Вычтем из обеих частей неравенства $-10 < -6$ число -4:
$-10 - (-4) < -6 - (-4)$
$-10 + 4 < -6 + 4$
$-6 < -2$
Ответ: $-13 < -9$ и $-6 < -2$.

3) обе части неравенства $7 > -2$ умножим на число 5; на число -1;

Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство, знак неравенства при этом не меняется.
Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
а) Умножим обе части неравенства $7 > -2$ на положительное число 5:
$7 \cdot 5 > -2 \cdot 5$
$35 > -10$
б) Умножим обе части неравенства $7 > -2$ на отрицательное число -1 (знак $>$ меняется на <):
$7 \cdot (-1) < -2 \cdot (-1)$
$-7 < 2$
Ответ: $35 > -10$ и $-7 < 2$.

4) обе части неравенства $12 < 18$ разделим на число 6; на число -2.

Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство, знак неравенства при этом не меняется.
Если обе части верного неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
а) Разделим обе части неравенства $12 < 18$ на положительное число 6:
$12 : 6 < 18 : 6$
$2 < 3$
б) Разделим обе части неравенства $12 < 18$ на отрицательное число -2 (знак < меняется на $>$):
$12 : (-2) > 18 : (-2)$
$-6 > -9$
Ответ: $2 < 3$ и $-6 > -9$.

39. Известно, что $a > b$. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) к обеим частям данного неравенства прибавим число 8;

2) из обеих частей данного неравенства вычтем число -6;

3) обе части данного неравенства умножим на число 12;

4) обе части данного неравенства умножим на число $-\frac{1}{3}$;

5) обе части данного неравенства разделим на число $\frac{2}{7}$;

6) обе части данного неравенства разделим на число -4.

1) к обеим частям данного неравенства прибавим число 8;
Исходное неравенство: $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Прибавив число 8 к обеим частям, получим:
$a + 8 > b + 8$.
Ответ: $a + 8 > b + 8$.

2) из обеих частей данного неравенства вычтем число –6;
Исходное неравенство: $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, если из обеих частей верного неравенства вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится. Вычитание числа –6 эквивалентно прибавлению числа 6. Таким образом, получаем:
$a - (–6) > b - (–6)$, что упрощается до $a + 6 > b + 6$.
Ответ: $a + 6 > b + 6$.

3) обе части данного неравенства умножим на число 12;
Исходное неравенство: $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же положительное число знак неравенства не изменяется. Так как $12 > 0$, получаем:
$12a > 12b$.
Ответ: $12a > 12b$.

4) обе части данного неравенства умножим на число $-\frac{1}{3}$;
Исходное неравенство: $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, при умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Так как $-\frac{1}{3} < 0$, знак $>$ меняется на <:
$-\frac{1}{3}a < -\frac{1}{3}b$.
Ответ: $-\frac{1}{3}a < -\frac{1}{3}b$.

5) обе части данного неравенства разделим на число $\frac{2}{7}$;
Исходное неравенство: $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, при делении обеих частей на одно и то же положительное число знак неравенства не изменяется. Так как $\frac{2}{7} > 0$, знак $>$ сохраняется. Деление на дробь $\frac{2}{7}$ эквивалентно умножению на обратную ей дробь $\frac{7}{2}$, поэтому:
$\frac{7a}{2} > \frac{7b}{2}$.
Ответ: $\frac{7a}{2} > \frac{7b}{2}$.

6) обе части данного неравенства разделим на число –4.
Исходное неравенство: $a > b$. Согласно свойству числовых неравенств, при делении обеих частей верного неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. Так как $–4 < 0$, знак $>$ меняется на <:
$\frac{a}{–4} < \frac{b}{–4}$, что равносильно $-\frac{a}{4} < -\frac{b}{4}$.
Ответ: $-\frac{a}{4} < -\frac{b}{4}$.

40. Известно, что $b > a$, $c < a$ и $d > b$. Сравните числа:

1) a и d;

2) b и c.

1) a и d

По условию задачи нам даны три неравенства: $b > a$, $c < a$ и $d > b$. Для сравнения чисел $a$ и $d$ воспользуемся неравенствами $d > b$ и $b > a$. Так как $d$ больше $b$, а $b$ в свою очередь больше $a$, мы можем составить общую цепочку неравенств: $d > b > a$. Исходя из свойства транзитивности неравенств (если $x > y$ и $y > z$, то $x > z$), из цепочки $d > b > a$ следует, что $d > a$.

Ответ: $a < d$

2) b и c

Для сравнения чисел $b$ и $c$ используем неравенства $b > a$ и $c < a$. Неравенство $c < a$ эквивалентно неравенству $a > c$. Теперь мы можем объединить два неравенства $b > a$ и $a > c$ в одну цепочку: $b > a > c$. По свойству транзитивности, из этой цепочки следует, что $b > c$.

Ответ: $b > c$

41. Расположите в порядке возрастания числа $a$, $b$, $c$ и $0$, если $a > b$, $0 < b$ и $0 > c$.

Для того чтобы расположить числа $a$, $b$, $c$ и $0$ в порядке возрастания, необходимо проанализировать данные в условии неравенства.

1. Из неравенства $0 > c$ (что эквивалентно $c < 0$) следует, что число $c$ является отрицательным. Это означает, что $c$ — самое маленькое из всех представленных чисел.

2. Из неравенства $0 < b$ (что эквивалентно $b > 0$) следует, что число $b$ является положительным.

3. Сопоставляя первые два условия, мы можем выстроить следующую последовательность по возрастанию: $c < 0 < b$.

4. Последнее условие $a > b$ показывает, что число $a$ больше числа $b$. Поскольку $b$ уже больше, чем $0$ и $c$, то $a$ будет самым большим числом во всей последовательности.

Объединив все полученные сведения, мы можем построить итоговую цепочку неравенств: $c < 0 < b < a$.

Следовательно, числа в порядке возрастания располагаются следующим образом: $c, 0, b, a$.

Ответ: $c, 0, b, a$.

42. Известно, что $a > 4$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $a - 3;$

2) $2 - a;$

3) $(a - 3)(a - 2);$

4) $\frac{(a - 4)(a - 2)}{3 - a};$

5) $(1 - a)^2(4 - a).$

1) По условию дано неравенство $a > 4$. Чтобы сравнить значение выражения $a-3$ с нулём, необходимо преобразовать исходное неравенство. Вычтем число 3 из обеих частей неравенства $a > 4$:
$a - 3 > 4 - 3$
$a - 3 > 1$
Поскольку $1 > 0$, то и выражение $a-3$ больше нуля.
Ответ: $a - 3 > 0$.

2) Используем исходное условие $a > 4$. Чтобы определить знак выражения $2-a$, умножим обе части неравенства на $-1$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-a < -4$
Теперь прибавим число 2 к обеим частям полученного неравенства:
$2 - a < 2 - 4$
$2 - a < -2$
Так как $-2 < 0$, то и выражение $2-a$ меньше нуля.
Ответ: $2 - a < 0$.

3) Чтобы определить знак произведения $(a - 3)(a - 2)$, нужно определить знак каждого из множителей, учитывая, что $a > 4$.
Оценим первый множитель $(a-3)$. Из $a > 4$ следует, что $a - 3 > 4 - 3$, то есть $a - 3 > 1$. Значит, первый множитель положителен.
Оценим второй множитель $(a-2)$. Из $a > 4$ следует, что $a - 2 > 4 - 2$, то есть $a - 2 > 2$. Значит, второй множитель также положителен.
Произведение двух положительных чисел является положительным числом.
Ответ: $(a - 3)(a - 2) > 0$.

4) Для сравнения дроби $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a}$ с нулём, определим знаки числителя и знаменателя при $a > 4$.
Числитель: $(a - 4)(a - 2)$.
- Множитель $(a-4)$: так как $a>4$, то $a-4 > 0$ (положительный).
- Множитель $(a-2)$: так как $a>4$, то $a-2 > 2$, значит $a-2 > 0$ (положительный).
Произведение двух положительных чисел положительно, следовательно, числитель $(a - 4)(a - 2) > 0$.
Знаменатель: $(3 - a)$.
Из $a > 4$ следует, что $-a < -4$. Прибавив 3, получим $3-a < 3-4$, то есть $3-a < -1$. Знаменатель отрицателен.
При делении положительного числителя на отрицательный знаменатель результат будет отрицательным.
Ответ: $\frac{(a-4)(a-2)}{3-a} < 0$.

5) Чтобы сравнить выражение $(1 - a)^2(4 - a)$ с нулём, определим знак каждого множителя при $a > 4$.
Первый множитель: $(1 - a)^2$.
Поскольку $a > 4$, то $a \neq 1$, значит $1 - a \neq 0$. Квадрат любого ненулевого действительного числа всегда является положительным числом. Следовательно, $(1 - a)^2 > 0$.
Второй множитель: $(4 - a)$.
Так как $a > 4$, то $4 - a$ будет отрицательным числом. Формально: $a > 4 \implies -a < -4 \implies 4-a < 4-4 \implies 4-a < 0$.
Произведение положительного числа $(1 - a)^2$ на отрицательное число $(4 - a)$ дает отрицательный результат.
Ответ: $(1 - a)^2(4 - a) < 0$.