Страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Как расположена на координатной прямой точка, изображающая число $a$, относительно точки, изображающей число $b$, если $a > b$?

Координатная прямая, также известная как числовая ось, представляет собой прямую, на которой числа расположены в порядке их возрастания. Стандартно, на горизонтальной координатной прямой меньшие числа находятся левее, а большие — правее.

В задаче дано условие $a > b$. Это неравенство означает, что число a является большим, а число b — меньшим.

Исходя из принципа построения координатной прямой, точка, соответствующая большему числу, всегда будет располагаться правее точки, соответствующей меньшему числу.

Следовательно, если $a > b$, то точка, изображающая число $a$, находится на координатной прямой правее точки, изображающей число $b$.

Например, если $a = 5$ и $b = 2$, то $5 > 2$, и точка 5 находится правее точки 2. Если $a = -1$ и $b = -4$, то $-1 > -4$, и точка -1 также находится правее точки -4.

Ответ: Точка, изображающая число $a$, расположена правее точки, изображающей число $b$.

4. Какой символ используют для выражения «не больше» и как этот символ читают?

Для выражения «не больше» используют математический символ нестрогого неравенства, который выглядит так: $ \le $. Он означает, что значение, стоящее слева от символа, либо меньше значения, стоящего справа, либо равно ему. Таким образом, утверждение «a не больше b» является эквивалентом записи $ a \le b $.

Ответ: для выражения «не больше» используют символ $ \le $.

Наиболее распространенное и математически точное прочтение символа $ \le $ — это «меньше или равно». Например, неравенство $ x \le 5 $ читается как «икс меньше или равен пяти». В разговорной речи или для упрощения, особенно когда смысл ясен из контекста, этот символ также могут читать дословно как «не больше».

Ответ: этот символ читают как «меньше или равно».

5. Какой символ используют для выражения «не меньше» и как этот символ читают?

Для выражения «не меньше» в математике используется символ нестрогого неравенства. Фраза «величина a не меньше величины b» логически означает, что величина a может быть либо больше величины b ($a > b$), либо равна ей ($a = b$).

Эти два возможных случая объединяются в одно утверждение с помощью символа «больше или равно». Этот символ представляет собой комбинацию знака «больше» ($>$) и знака равенства, который обычно изображается в виде одной горизонтальной черты под ним.

Символ, используемый для выражения «не меньше», выглядит так: $ \ge $.

Запись неравенства с этим символом, например $a \ge b$, можно прочитать несколькими способами:

• a больше или равно b (это наиболее распространенное чтение);
• a не меньше b (это чтение полностью соответствует исходному выражению).

Таким образом, этот символ и его прочтение точно передают смысл отношения «не меньше».

Ответ: Для выражения «не меньше» используют символ $ \ge $, который читают «больше или равно» или «не меньше».

6. В каком случае верно неравенство $a \leq b$?

Неравенство $a \le b$ является нестрогим и означает "a меньше или равно b". Оно будет верным, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:
1. Число $a$ строго меньше числа $b$, то есть $a < b$. Например, $3 \le 8$ является верным утверждением, так как $3 < 8$.
2. Число $a$ равно числу $b$, то есть $a = b$. Например, $5 \le 5$ также является верным утверждением, так как $5 = 5$.

Другими словами, неравенство $a \le b$ истинно тогда, когда разность $b-a$ является неотрицательным числом, то есть $b-a \ge 0$.

Если рассматривать числа на координатной прямой, то неравенство $a \le b$ означает, что точка с координатой $a$ расположена левее точки с координатой $b$ или совпадает с ней.

Ответ: Неравенство $a \le b$ верно в том случае, если число $a$ меньше числа $b$ или если число $a$ равно числу $b$.

7. В каком случае верно неравенство $a \geq b$?

Неравенство $a \ge b$ читается как «$a$ больше или равно $b$». Это нестрогое неравенство, которое является верным, если выполняется хотя бы одно из следующих двух условий:

• Число $a$ строго больше числа $b$ (записывается как $a > b$). Например, неравенство $10 \ge 5$ верно, так как $10 > 5$.
• Число $a$ равно числу $b$ (записывается как $a = b$). Например, неравенство $7 \ge 7$ верно, так как $7 = 7$.

Таким образом, утверждение $a \ge b$ истинно, если число $a$ не меньше числа $b$.

Альтернативный и более формальный способ определения этого условия — через разность чисел. Неравенство $a \ge b$ верно тогда и только тогда, когда разность $a - b$ является неотрицательным числом, то есть числом, которое больше или равно нулю.

Это можно записать в виде равносильного неравенства: $a \ge b \iff a - b \ge 0$.

На числовой прямой это означает, что точка с координатой $a$ расположена правее точки с координатой $b$ или совпадает с ней.

Ответ: Неравенство $a \ge b$ верно в том случае, когда разность $a - b$ является неотрицательным числом ($a - b \ge 0$), что равносильно тому, что число $a$ больше или равно числу $b$.

8. Поясните, какие знаки называют знаками строгого, а какие — нестрогого неравенства.

Знаки строгого неравенства
Знаками строгого неравенства называют знаки, которые используются для сравнения двух величин, исключая возможность их равенства. Они показывают, что одно значение является исключительно большим или исключительно меньшим, чем другое.
К знакам строгого неравенства относятся:
- Знак «больше»: $ > $. Запись $a > b$ означает, что значение $a$ строго больше значения $b$.
- Знак «меньше»: $ < $. Запись $a < b$ означает, что значение $a$ строго меньше значения $b$.
Например, неравенство $x > 7$ означает, что переменная $x$ может быть любым числом, которое больше 7, но не может быть равна 7. При изображении решения на числовой прямой точка, соответствующая числу 7, будет «выколотой» (незакрашенным кружком), а в записи промежутка будет использоваться круглая скобка: $(7; +\infty)$.
Ответ: знаки строгого неравенства — это $ > $ (больше) и $ < $ (меньше).

Знаки нестрогого неравенства
Знаками нестрогого неравенства называют знаки, которые допускают возможность равенства сравниваемых величин. Они объединяют в себе два условия: строгое неравенство и равенство.
К знакам нестрогого неравенства относятся:
- Знак «больше или равно»: $ \ge $. Запись $a \ge b$ означает, что значение $a$ либо больше значения $b$, либо равно ему.
- Знак «меньше или равно»: $ \le $. Запись $a \le b$ означает, что значение $a$ либо меньше значения $b$, либо равно ему.
Например, неравенство $x \le 7$ означает, что переменная $x$ может быть любым числом, которое меньше 7, а также может быть равна 7. При изображении решения на числовой прямой точка, соответствующая числу 7, будет «закрашенной» (сплошным кружком), а в записи промежутка будет использоваться квадратная скобка: $(-\infty; 7]$.
Ответ: знаки нестрогого неравенства — это $ \ge $ (больше или равно) и $ \le $ (меньше или равно).

1. Сравните числа $a$ и $b$, если:

1) $a - b = 0,4;$

2) $a - b = -3;$

3) $a - b = 0.$

1) Чтобы сравнить числа $a$ и $b$, нужно определить знак их разности $a - b$. По условию дано, что $a - b = 0,4$. Поскольку разность $a - b$ равна положительному числу ($0,4 > 0$), это означает, что уменьшаемое $a$ больше вычитаемого $b$. Другой способ это увидеть — выразить $a$ из равенства: $a = b + 0,4$. Это показывает, что число $a$ на $0,4$ больше, чем число $b$.
Ответ: $a > b$.

2) По условию дано, что $a - b = -3$. Поскольку разность $a - b$ равна отрицательному числу ($-3 < 0$), это означает, что уменьшаемое $a$ меньше вычитаемого $b$. Также можно выразить $a$ из равенства: $a = b - 3$. Это показывает, что число $a$ на $3$ меньше, чем число $b$.
Ответ: $a < b$.

3) По условию дано, что $a - b = 0$. Поскольку разность $a - b$ равна нулю, это по определению означает, что числа $a$ и $b$ равны. Если перенести $-b$ в правую часть уравнения, мы получим $a = b$.
Ответ: $a = b$.

2. Известно, что $m < n$. Может ли разность $m - n$ быть равной числу:

1) 4,6;

2) -5,2;

3) 0?

По условию задачи известно, что $m < n$. Чтобы определить, каким может быть значение разности $m - n$, преобразуем данное неравенство. Вычтем из обеих частей неравенства число $n$:
$m - n < n - n$
$m - n < 0$
Таким образом, разность $m - n$ должна быть строго отрицательным числом. Теперь рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) 4,6
Число 4,6 является положительным ($4,6 > 0$). Это противоречит полученному нами условию $m - n < 0$. Следовательно, разность $m - n$ не может быть равна 4,6.
Ответ: нет.

2) -5,2
Число -5,2 является отрицательным ($-5,2 < 0$). Это соответствует условию $m - n < 0$. Мы можем подобрать такие числа $m$ и $n$, чтобы их разность была равна -5,2. Например, пусть $m = 1$. Тогда $1 - n = -5,2$, откуда $n = 1 + 5,2 = 6,2$. В этом случае $m < n$, так как $1 < 6,2$, и разность $m - n = -5,2$. Следовательно, разность $m - n$ может быть равна -5,2.
Ответ: да.

3) 0
Если разность $m - n = 0$, то это равносильно тому, что $m = n$. Это противоречит строгому неравенству $m < n$, данному в условии задачи. Следовательно, разность $m - n$ не может быть равна 0.
Ответ: нет.

3. Какое из чисел $x$ или $y$ больше, если:

1) $x - y = -8$;

2) $y - x = 10?$

1) Чтобы определить, какое из чисел больше, проанализируем данное равенство: $x - y = -8$.
Разность двух чисел показывает, на сколько одно число больше другого. Если разность $a - b$ отрицательна, это означает, что $a < b$.
В нашем случае разность $x - y = -8$, что меньше нуля. Следовательно, $x < y$.
Также можно выразить $x$ через $y$: $x = y - 8$. Это равенство показывает, что число $x$ на 8 меньше числа $y$.
Ответ: число $y$ больше числа $x$.

2) Рассмотрим второе равенство: $y - x = 10$.
Если разность двух чисел $a - b$ положительна, это означает, что $a > b$.
В нашем случае разность $y - x = 10$, что больше нуля. Следовательно, $y > x$.
Также можно выразить $y$ через $x$: $y = x + 10$. Это равенство показывает, что число $y$ на 10 больше числа $x$.
Ответ: число $y$ больше числа $x$.

4. Как расположена на координатной прямой точка A(a) относительно точки B(b), если:

1) $a - b = 2;$

2) $a - b = -6;$

3) $a - b = 0;$

4) $b - a = \sqrt{2}?$

Для определения взаимного расположения точек $A(a)$ и $B(b)$ на координатной прямой необходимо сравнить их координаты $a$ и $b$. Это делается путем анализа знака их разности. Если разность $a - b$ положительна ($a - b > 0$), то $a > b$, и точка $A$ расположена правее точки $B$. Если разность $a - b$ отрицательна ($a - b < 0$), то $a < b$, и точка $A$ расположена левее точки $B$. Если разность $a - b$ равна нулю ($a - b = 0$), то $a = b$, и точки $A$ и $B$ совпадают. Расстояние между точками равно модулю их разности: $|a - b|$.

1) $a - b = 2$

Поскольку разность $a - b = 2$ и $2 > 0$, то $a > b$. Следовательно, точка $A(a)$ расположена правее точки $B(b)$. Расстояние между точками составляет $|a - b| = |2| = 2$ единицы.
Ответ: Точка $A$ расположена правее точки $B$ на 2 единицы.

2) $a - b = -6$

Поскольку разность $a - b = -6$ и $-6 < 0$, то $a < b$. Следовательно, точка $A(a)$ расположена левее точки $B(b)$. Расстояние между точками составляет $|a - b| = |-6| = 6$ единиц.
Ответ: Точка $A$ расположена левее точки $B$ на 6 единиц.

3) $a - b = 0$

Поскольку разность $a - b = 0$, то $a = b$. Это означает, что координаты точек совпадают, и сами точки $A(a)$ и $B(b)$ также совпадают.
Ответ: Точки $A$ и $B$ совпадают.

4) $b - a = \sqrt{2}$

Из условия $b - a = \sqrt{2}$ следует, что разность координат положительна. Так как $\sqrt{2} > 0$, то $b > a$, что эквивалентно $a < b$. Следовательно, точка $A(a)$ расположена левее точки $B(b)$. Расстояние между точками составляет $|b - a| = |\sqrt{2}| = \sqrt{2}$ единицы.
Ответ: Точка $A$ расположена левее точки $B$ на $\sqrt{2}$ единицы.

5. Могут ли одновременно выполняться неравенства:

1) $a > b$ и $a < b$;

2) $a \ge b$ и $a \le b$?

1) $a > b$ и $a < b$

Данные неравенства являются строгими. Неравенство $a > b$ означает, что число $a$ строго больше числа $b$. Неравенство $a < b$ означает, что число $a$ строго меньше числа $b$.

Согласно аксиоме порядка для действительных чисел (свойство трихотомии), для любых двух чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех соотношений: $a > b$, $a < b$ или $a = b$.

Два соотношения $a > b$ и $a < b$ не могут выполняться одновременно, так как они являются взаимоисключающими. Число не может быть одновременно и больше, и меньше другого числа.

Ответ: нет, не могут.

2) $a \ge b$ и $a \le b$

Данные неравенства являются нестрогими.

Неравенство $a \ge b$ означает, что "число $a$ больше или равно числу $b$". Это утверждение истинно, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $a > b$ или $a = b$.

Неравенство $a \le b$ означает, что "число $a$ меньше или равно числу $b$". Это утверждение истинно, если выполняется хотя бы одно из двух условий: $a < b$ или $a = b$.

Чтобы оба неравенства, $a \ge b$ и $a \le b$, выполнялись одновременно, необходимо найти условие, которое удовлетворяет обеим системам. Общим для обоих утверждений является случай равенства.

Проверим случай, когда $a = b$:

• Неравенство $a \ge b$ при $a = b$ превращается в $b \ge b$, что является верным.
• Неравенство $a \le b$ при $a = b$ превращается в $b \le b$, что также является верным.

Таким образом, оба неравенства могут выполняться одновременно, но только в одном единственном случае: когда $a$ и $b$ равны.

Ответ: да, могут, если $a = b$.

6. Сравните значения выражений $(a-2)^2$ и $a(a-4)$ при значении $a$, равном:

1) 6;

2) -3;

3) 2.

Можно ли по результатам выполненных сравнений утверждать, что при любом значении $a$ значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения? Докажите, что при любом значении $a$ значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения.

Для сравнения значений выражений $(a-2)^2$ и $a(a-4)$ подставим в них заданные значения переменной $a$.

1) При $a=6$:
Значение первого выражения: $(a-2)^2 = (6-2)^2 = 4^2 = 16$.
Значение второго выражения: $a(a-4) = 6(6-4) = 6 \cdot 2 = 12$.
Так как $16 > 12$, то при $a=6$ значение первого выражения больше значения второго.
Ответ: при $a=6$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

2) При $a=-3$:
Значение первого выражения: $(a-2)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$.
Значение второго выражения: $a(a-4) = -3(-3-4) = -3 \cdot (-7) = 21$.
Так как $25 > 21$, то при $a=-3$ значение первого выражения больше значения второго.
Ответ: при $a=-3$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

3) При $a=2$:
Значение первого выражения: $(a-2)^2 = (2-2)^2 = 0^2 = 0$.
Значение второго выражения: $a(a-4) = 2(2-4) = 2 \cdot (-2) = -4$.
Так как $0 > -4$, то при $a=2$ значение первого выражения больше значения второго.
Ответ: при $a=2$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

Далее ответим на вопрос: "Можно ли по результатам выполненных сравнений утверждать, что при любом значении $a$ значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения?".
На основании только трех приведенных примеров нельзя сделать такой вывод. Тот факт, что неравенство выполняется для $a=6$, $a=-3$ и $a=2$, не является строгим доказательством того, что оно будет выполняться для всех возможных значений $a$. Для общего утверждения требуется отдельное доказательство.
Ответ: нет, нельзя.

Теперь докажем, что при любом значении $a$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.
Для этого найдем разность этих выражений. Если разность будет положительной при любом $a$, то первое выражение всегда больше второго.
Рассмотрим разность: $(a-2)^2 - a(a-4)$.
Преобразуем выражение, раскрыв скобки. Используем формулу квадрата разности для первого члена: $(a-2)^2 = a^2 - 4a + 4$.
$(a^2 - 4a + 4) - (a^2 - 4a) = a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4a$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-4a + 4a) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$.
Разность выражений равна постоянному положительному числу 4. Поскольку $(a-2)^2 - a(a-4) = 4$ и $4 > 0$, то неравенство $(a-2)^2 > a(a-4)$ верно при любом значении $a$.
Ответ: доказано, что при любом значении $a$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

7. Сравните значения выражений $4(b+1)$ и $b-2$ при значении $b$, равном:

1) -1;

2) 0;

3) 3.

Верно ли утверждение, что при любом значении $b$ значение выражения $4(b+1)$ больше соответствующего значения выражения $b-2$?

1)

Сравним значения выражений при $b = -1$.
Значение первого выражения $4(b+1)$: $4(-1+1) = 4 \cdot 0 = 0$.
Значение второго выражения $b-2$: $-1-2 = -3$.
Сравнивая полученные значения, имеем $0 > -3$.

Ответ: при $b=-1$ значение выражения $4(b+1)$ больше значения выражения $b-2$.

2)

Сравним значения выражений при $b = 0$.
Значение первого выражения $4(b+1)$: $4(0+1) = 4 \cdot 1 = 4$.
Значение второго выражения $b-2$: $0-2 = -2$.
Сравнивая полученные значения, имеем $4 > -2$.

Ответ: при $b=0$ значение выражения $4(b+1)$ больше значения выражения $b-2$.

3)

Сравним значения выражений при $b = 3$.
Значение первого выражения $4(b+1)$: $4(3+1) = 4 \cdot 4 = 16$.
Значение второго выражения $b-2$: $3-2 = 1$.
Сравнивая полученные значения, имеем $16 > 1$.

Ответ: при $b=3$ значение выражения $4(b+1)$ больше значения выражения $b-2$.

Верно ли утверждение, что при любом значении b значение выражения 4(b + 1) больше соответствующего значения выражения b – 2?

Для проверки данного утверждения необходимо определить, при каких значениях $b$ выполняется неравенство $4(b+1) > b-2$.
Решим это неравенство:
$4(b+1) > b-2$
$4b + 4 > b - 2$
Перенесем члены с $b$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$4b - b > -2 - 4$
$3b > -6$
Разделим обе части на 3:
$b > -2$
Неравенство верно только при $b > -2$. Утверждение, что оно верно при любом значении $b$, является ложным. Например, если взять $b = -3$ (что меньше, чем -2), то:
$4(-3+1) = 4(-2) = -8$
$-3-2 = -5$
Получаем, что $-8 < -5$, то есть неравенство $4(b+1) > b-2$ не выполняется.

Ответ: нет, утверждение неверно.

8. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) $(a + 3)(a + 1) > a(a + 4);$

2) $3(b - 4) + 2b < 5b - 10;$

3) $(c - 4)(c + 4) > c^2 - 20;$

4) $x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1);$

5) $(y + 5)(y - 2) \geq 3y - 10;$

6) $8m^2 - 6m + 1 \leq (3m - 1)^2;$

7) $a(a - 2) \geq -1;$

8) $(b + 7)^2 > 14b + 40.$

1) $(a + 3)(a + 1) > a(a + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $a^2 + a + 3a + 3 > a^2 + 4a$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$.

Вычтем из обеих частей выражение $a^2 + 4a$. Получим верное числовое неравенство $3 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Доказано.

2) $3(b - 4) + 2b < 5b - 10$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части: $3b - 12 + 2b < 5b - 10$, что упрощается до $5b - 12 < 5b - 10$.

Вычтем из обеих частей $5b$. Получим верное числовое неравенство $-12 < -10$, которое не зависит от значения переменной $b$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Доказано.

3) $(c - 4)(c + 4) > c^2 - 20$

Применим в левой части формулу разности квадратов: $c^2 - 4^2 > c^2 - 20$, что дает $c^2 - 16 > c^2 - 20$.

Вычтем из обеих частей $c^2$. Получим верное числовое неравенство $-16 > -20$, которое не зависит от значения переменной $c$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $c$.

Ответ: Доказано.

4) $x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2$.

Упростим левую часть: $6x < 6x + 2$.

Вычтем из обеих частей $6x$. Получим верное числовое неравенство $0 < 2$, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: Доказано.

5) $(y + 5)(y - 2) \ge 3y - 10$

Раскроем скобки в левой части: $y^2 - 2y + 5y - 10 \ge 3y - 10$, что упрощается до $y^2 + 3y - 10 \ge 3y - 10$.

Перенесем все члены в левую часть: $y^2 + 3y - 10 - 3y + 10 \ge 0$, что дает $y^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $y^2 \ge 0$ верно для любого $y$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Доказано.

6) $8m^2 - 6m + 1 \le (3m - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности: $8m^2 - 6m + 1 \le (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 1 + 1^2$.

$8m^2 - 6m + 1 \le 9m^2 - 6m + 1$.

Перенесем все члены из левой части в правую: $0 \le (9m^2 - 6m + 1) - (8m^2 - 6m + 1)$.

$0 \le 9m^2 - 8m^2 - 6m + 6m + 1 - 1$, что упрощается до $0 \le m^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $m^2 \ge 0$ верно для любого $m$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $m$.

Ответ: Доказано.

7) $a(a - 2) \ge -1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $a^2 - 2a \ge -1$, что равносильно $a^2 - 2a + 1 \ge 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(a - 1)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного выражения, в данном случае $(a - 1)$, всегда неотрицателен. Неравенство $(a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Доказано.

8) $(b + 7)^2 > 14b + 40$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 > 14b + 40$.

$b^2 + 14b + 49 > 14b + 40$.

Перенесем члены с переменной и константы в левую часть: $b^2 + 14b - 14b + 49 - 40 > 0$.

Приведем подобные слагаемые: $b^2 + 9 > 0$.

Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то сумма $b^2 + 9$ всегда будет не меньше 9, а значит, строго больше 0. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Доказано.