Номер 8, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

8. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) $(a + 3)(a + 1) > a(a + 4);$

2) $3(b - 4) + 2b < 5b - 10;$

3) $(c - 4)(c + 4) > c^2 - 20;$

4) $x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1);$

5) $(y + 5)(y - 2) \geq 3y - 10;$

6) $8m^2 - 6m + 1 \leq (3m - 1)^2;$

7) $a(a - 2) \geq -1;$

8) $(b + 7)^2 > 14b + 40.$

1) $(a + 3)(a + 1) > a(a + 4)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $a^2 + a + 3a + 3 > a^2 + 4a$.

Приведем подобные слагаемые в левой части: $a^2 + 4a + 3 > a^2 + 4a$.

Вычтем из обеих частей выражение $a^2 + 4a$. Получим верное числовое неравенство $3 > 0$, которое не зависит от значения переменной $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Доказано.

2) $3(b - 4) + 2b < 5b - 10$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в левой части: $3b - 12 + 2b < 5b - 10$, что упрощается до $5b - 12 < 5b - 10$.

Вычтем из обеих частей $5b$. Получим верное числовое неравенство $-12 < -10$, которое не зависит от значения переменной $b$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Доказано.

3) $(c - 4)(c + 4) > c^2 - 20$

Применим в левой части формулу разности квадратов: $c^2 - 4^2 > c^2 - 20$, что дает $c^2 - 16 > c^2 - 20$.

Вычтем из обеих частей $c^2$. Получим верное числовое неравенство $-16 > -20$, которое не зависит от значения переменной $c$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $c$.

Ответ: Доказано.

4) $x(x + 6) - x^2 < 2(3x + 1)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства: $x^2 + 6x - x^2 < 6x + 2$.

Упростим левую часть: $6x < 6x + 2$.

Вычтем из обеих частей $6x$. Получим верное числовое неравенство $0 < 2$, которое не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $x$.

Ответ: Доказано.

5) $(y + 5)(y - 2) \ge 3y - 10$

Раскроем скобки в левой части: $y^2 - 2y + 5y - 10 \ge 3y - 10$, что упрощается до $y^2 + 3y - 10 \ge 3y - 10$.

Перенесем все члены в левую часть: $y^2 + 3y - 10 - 3y + 10 \ge 0$, что дает $y^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $y^2 \ge 0$ верно для любого $y$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Доказано.

6) $8m^2 - 6m + 1 \le (3m - 1)^2$

Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата разности: $8m^2 - 6m + 1 \le (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 1 + 1^2$.

$8m^2 - 6m + 1 \le 9m^2 - 6m + 1$.

Перенесем все члены из левой части в правую: $0 \le (9m^2 - 6m + 1) - (8m^2 - 6m + 1)$.

$0 \le 9m^2 - 8m^2 - 6m + 6m + 1 - 1$, что упрощается до $0 \le m^2$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $m^2 \ge 0$ верно для любого $m$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $m$.

Ответ: Доказано.

7) $a(a - 2) \ge -1$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть: $a^2 - 2a \ge -1$, что равносильно $a^2 - 2a + 1 \ge 0$.

Свернем левую часть по формуле квадрата разности: $(a - 1)^2 \ge 0$.

Квадрат любого действительного выражения, в данном случае $(a - 1)$, всегда неотрицателен. Неравенство $(a - 1)^2 \ge 0$ верно для любого $a$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Доказано.

8) $(b + 7)^2 > 14b + 40$

Раскроем скобки в левой части по формуле квадрата суммы: $b^2 + 2 \cdot b \cdot 7 + 7^2 > 14b + 40$.

$b^2 + 14b + 49 > 14b + 40$.

Перенесем члены с переменной и константы в левую часть: $b^2 + 14b - 14b + 49 - 40 > 0$.

Приведем подобные слагаемые: $b^2 + 9 > 0$.

Так как $b^2 \ge 0$ для любого действительного числа $b$, то сумма $b^2 + 9$ всегда будет не меньше 9, а значит, строго больше 0. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $b$.

Ответ: Доказано.