Номер 11, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Докажите неравенство:

1) $2a^2 - 8a + 16 > 0;$

2) $4b^2 + 4b + 3 > 0;$

3) $a^2 + ab + b^2 \geq 0;$

4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12);$

5) $a(a - 3) > 5(a - 4);$

6) $(a - b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab.$

1) Преобразуем левую часть неравенства $2a^2 - 8a + 16 > 0$, выделив в ней полный квадрат. Для этого вынесем за скобки коэффициент 2:
$2a^2 - 8a + 16 = 2(a^2 - 4a + 8)$.
Теперь выделим полный квадрат в выражении $a^2 - 4a + 8$:
$a^2 - 4a + 8 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 8 = (a - 2)^2 - 4 + 8 = (a - 2)^2 + 4$.
Таким образом, исходное выражение равно $2((a - 2)^2 + 4)$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a - 2)^2 \ge 0$ для любого $a$.
Следовательно, $(a - 2)^2 + 4 \ge 4$.
Умножив обе части на 2, получим: $2((a - 2)^2 + 4) \ge 8$.
Так как $8 > 0$, то и исходное выражение $2a^2 - 8a + 16$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим левую часть неравенства $4b^2 + 4b + 3 > 0$ и выделим полный квадрат.
Заметим, что $4b^2 = (2b)^2$ и $4b = 2 \cdot (2b) \cdot 1$. Это наводит на мысль о формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$4b^2 + 4b + 3 = (4b^2 + 4b + 1) + 2 = (2b + 1)^2 + 2$.
Выражение $(2b + 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(2b + 1)^2 \ge 0$ для любого $b$.
Прибавляя к неотрицательному числу 2, получаем: $(2b + 1)^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку $2 > 0$, то и выражение $4b^2 + 4b + 3$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Для доказательства неравенства $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$.
$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2) - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + b^2 - \frac{b^2}{4} = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$.
Полученное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2$ и $\frac{3}{4}b^2$.
Первое слагаемое, $(a + \frac{b}{2})^2$, является полным квадратом, следовательно, оно неотрицательно: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$.
Второе слагаемое, $\frac{3}{4}b^2$, также неотрицательно, поскольку $b^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4} > 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Таким образом, $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Для доказательства неравенства $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ раскроем скобки и упростим обе части.
Левая часть:
$(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 = (6a^2 - 12a + 4a - 8) - (4a^2 - 20a + 25) = (6a^2 - 8a - 8) - 4a^2 + 20a - 25 = 2a^2 + 12a - 33$.
Правая часть:
$3(4a - 12) = 12a - 36$.
Неравенство принимает вид:
$2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2a^2 + 12a - 33 - 12a + 36 > 0$.
$2a^2 + 3 > 0$.
Для любого действительного числа $a$ имеем $a^2 \ge 0$, следовательно $2a^2 \ge 0$.
Тогда $2a^2 + 3 \ge 3$.
Так как $3 > 0$, то неравенство $2a^2 + 3 > 0$ верно при любом $a$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Докажем неравенство $a(a - 3) > 5(a - 4)$. Для этого раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну часть.
$a^2 - 3a > 5a - 20$.
$a^2 - 3a - 5a + 20 > 0$.
$a^2 - 8a + 20 > 0$.
Выделим в левой части полный квадрат:
$a^2 - 8a + 20 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 20 = (a - 4)^2 - 16 + 20 = (a - 4)^2 + 4$.
Получили неравенство $(a - 4)^2 + 4 > 0$.
Так как $(a - 4)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a - 4)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, то и выражение $(a - 4)^2 + 4$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Докажем неравенство $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$. Упростим обе его части.
Левая часть:
$(a - b)(a + 5b) = a^2 + 5ab - ab - 5b^2 = a^2 + 4ab - 5b^2$.
Правая часть:
$(2a + b)(a + 4b) + ab = (2a^2 + 8ab + ab + 4b^2) + ab = 2a^2 + 9ab + 4b^2 + ab = 2a^2 + 10ab + 4b^2$.
Неравенство принимает вид:
$a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$.
Перенесем все члены из левой части в правую:
$0 \le (2a^2 - a^2) + (10ab - 4ab) + (4b^2 - (-5b^2))$.
$0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$.
Выражение в правой части является полным квадратом:
$a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$.
Таким образом, мы получили неравенство $0 \le (a + 3b)^2$, или $(a + 3b)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любых значений $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.