Номер 14, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

14. Докажите, что:

1) $ab(b - a) \leq a^3 - b^3$, если $a \geq b$;

2) $\frac{a-1}{2} - \frac{a-2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$.

1) Требуется доказать, что $ab(b - a) \le a^3 - b^3$, если $a \ge b$.

Для доказательства преобразуем неравенство. Сначала используем формулу разности кубов для правой части: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Исходное неравенство принимает вид:

$ab(b - a) \le (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Так как $b - a = -(a - b)$, заменим выражение в левой части:

$-ab(a - b) \le (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем. Перенесем левую часть вправо:

$0 \le (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$0 \le (a - b)[(a^2 + ab + b^2) + ab]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$0 \le (a - b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, то есть $(a + b)^2$.

Неравенство сводится к следующему:

$0 \le (a - b)(a + b)^2$

Проверим справедливость этого неравенства при заданном условии $a \ge b$.

1. Рассмотрим множитель $(a - b)$. По условию $a \ge b$, следовательно, разность $a - b \ge 0$, то есть этот множитель является неотрицательным.

2. Рассмотрим множитель $(a + b)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(a + b)^2 \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных чисел ($(a - b)$ и $(a + b)^2$) также всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство $0 \le (a - b)(a + b)^2$ верно при условии $a \ge b$.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $ab(b - a) \le a^3 - b^3$ верно.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что $\frac{a-1}{2} - \frac{a-2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$.

Для доказательства упростим левую часть неравенства. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{3 \cdot (a-1)}{6} - \frac{2 \cdot (a-2)}{6} > \frac{1}{2}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3a - 3 - (2a - 4)}{6} > \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3a - 3 - 2a + 4}{6} > \frac{1}{2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$6 \cdot \frac{a + 1}{6} > 6 \cdot \frac{1}{2}$

$a + 1 > 3$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$a > 3 - 1$

$a > 2$

В результате равносильных преобразований мы получили неравенство $a > 2$, которое в точности совпадает с условием, данным в задаче. Следовательно, исходное неравенство является верным при всех $a > 2$.

Ответ: Доказано.