Номер 21, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

21. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем $-2$.

Пусть $x$ — произвольное отрицательное число. По условию, $x < 0$. Число, взаимно обратное к $x$, равно $\frac{1}{x}$. Поскольку $x$ отрицательно, то и $\frac{1}{x}$ также является отрицательным числом.

Требуется доказать, что сумма этих двух чисел не больше чем -2. Запишем это в виде неравенства:

$x + \frac{1}{x} \le -2$

Для доказательства выполним равносильные преобразования этого неравенства. Перенесем все члены в левую часть:

$x + \frac{1}{x} + 2 \le 0$

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $x$:

$\frac{x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot x}{x} \le 0$

$\frac{x^2 + 2x + 1}{x} \le 0$

Заметим, что числитель дроби $x^2 + 2x + 1$ представляет собой формулу квадрата суммы, то есть $(x+1)^2$. Подставим это в неравенство:

$\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство.

Выражение в числителе, $(x+1)^2$, является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.

Выражение в знаменателе, $x$, по условию задачи является отрицательным числом, то есть $x < 0$.

Таким образом, мы имеем дробь, у которой числитель неотрицателен $(\ge 0)$, а знаменатель строго отрицателен $(< 0)$. При делении неотрицательного числа на отрицательное результат всегда будет неположительным (меньше или равен нулю). Равенство нулю достигается только в том случае, когда числитель равен нулю, то есть при $x = -1$. Во всех остальных случаях, когда $x$ — отрицательное число, не равное -1, числитель будет строго положительным, а вся дробь — строго отрицательной.

Следовательно, неравенство $\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$ верно для всех отрицательных значений $x$.

Поскольку все наши преобразования были равносильными, мы доказали, что исходное неравенство $x + \frac{1}{x} \le -2$ также верно для любых отрицательных $x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что для любого отрицательного числа $x$ неравенство $x + \frac{1}{x} \le -2$ является верным, так как оно равносильно верному неравенству $\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$.