Номер 24, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

24. Докажите, что если $a < b$, то $a < \frac{a+b}{2} < b$.

Для доказательства утверждения, что если $a < b$, то $a < \frac{a+b}{2} < b$, необходимо доказать два неравенства по отдельности: $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$. В обоих случаях мы будем использовать основное свойство неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число или умножить обе части на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

1. Докажем, что $a < \frac{a+b}{2}$

Возьмем за основу данное нам неравенство:

$a < b$

Прибавим к обеим его частям число $a$:

$a + a < b + a$

$2a < a + b$

Теперь разделим обе части полученного неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства сохранится:

$\frac{2a}{2} < \frac{a+b}{2}$

$a < \frac{a+b}{2}$

Первая часть утверждения доказана.

2. Докажем, что $\frac{a+b}{2} < b$

Снова начнем с исходного неравенства:

$a < b$

Прибавим к обеим его частям число $b$:

$a + b < b + b$

$a + b < 2b$

Разделим обе части на положительное число 2, сохраняя знак неравенства:

$\frac{a+b}{2} < \frac{2b}{2}$

$\frac{a+b}{2} < b$

Вторая часть утверждения также доказана.

Поскольку мы доказали, что $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$, мы можем объединить эти два неравенства в одно двойное неравенство: $a < \frac{a+b}{2} < b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из исходного условия $a < b$ с помощью равносильных преобразований мы получили два неравенства: $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$, которые вместе доказывают истинность выражения $a < \frac{a+b}{2} < b$.