Номер 22, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

22. Выполняется ли данное неравенство при любых значениях $a$ и $b$:

1) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1$;

2) $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1$?

1) Проверим, выполняется ли неравенство $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1 $ при любых значениях $ a $ и $ b $.

Знаменатель дроби $ a^2 + 1 $ всегда строго положителен, так как квадрат любого действительного числа $ a $ неотрицателен ($ a^2 \ge 0 $), и, следовательно, $ a^2 + 1 \ge 1 $. Это позволяет нам умножить обе части неравенства на $ a^2 + 1 $, не меняя знака неравенства.

$ a^2 + b^2 > 1 \cdot (a^2 + 1) $

Раскроем скобки в правой части:

$ a^2 + b^2 > a^2 + 1 $

Вычтем $ a^2 $ из обеих частей неравенства, что является равносильным преобразованием:

$ b^2 > 1 $

Полученное неравенство $ b^2 > 1 $ не является верным для всех действительных чисел $ b $. Например, если выбрать $ b = 1 $ или $ b = 0 $, неравенство не выполняется:

• При $ b = 1 $, получаем $ 1^2 > 1 $, то есть $ 1 > 1 $, что ложно.
• При $ b = 0 $, получаем $ 0^2 > 1 $, то есть $ 0 > 1 $, что также ложно.

Поскольку мы нашли значения $ b $ (например, из отрезка $ [-1, 1] $), при которых неравенство неверно, исходное утверждение не выполняется для любых $ a $ и $ b $.

Ответ: нет, данное неравенство выполняется не при любых значениях $ a $ и $ b $.

2) Проверим, выполняется ли неравенство $ \frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1 $ при любых значениях $ a $ и $ b $.

Аналогично первому пункту, знаменатель $ b^2 + 1 $ всегда строго положителен ($ b^2 + 1 \ge 1 $). Умножим обе части неравенства на этот знаменатель, сохраняя знак неравенства.

$ a^2 - b^2 > -1 \cdot (b^2 + 1) $

Раскроем скобки в правой части:

$ a^2 - b^2 > -b^2 - 1 $

Прибавим $ b^2 $ к обеим частям неравенства. Это равносильное преобразование.

$ a^2 > -1 $

Полученное неравенство $ a^2 > -1 $ является верным для любого действительного числа $ a $. Квадрат любого действительного числа $ a $ всегда является неотрицательным числом, то есть $ a^2 \ge 0 $. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому $ a^2 $ всегда больше $ -1 $.

Так как неравенство $ a^2 > -1 $ верно для любого $ a $, и все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $ \frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1 $ выполняется при любых значениях $ a $ и $ b $.

Ответ: да, данное неравенство выполняется при любых значениях $ a $ и $ b $.