Номер 15, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. Сравните сумму квадратов двух произвольных действительных чисел и их удвоенное произведение.

Чтобы сравнить сумму квадратов двух произвольных действительных чисел и их удвоенное произведение, введем переменные. Пусть $a$ и $b$ — два произвольных действительных числа.

Сумма их квадратов записывается как $a^2 + b^2$.

Их удвоенное произведение записывается как $2ab$.

Для сравнения этих двух выражений найдем их разность:
$(a^2 + b^2) - 2ab$

Перегруппировав члены, мы получим выражение $a^2 - 2ab + b^2$. Это известная формула сокращенного умножения, а именно квадрат разности:
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Поскольку $a$ и $b$ — действительные числа, их разность $(a - b)$ также является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Таким образом, мы можем утверждать, что:
$(a - b)^2 \ge 0$

Так как $(a^2 + b^2) - 2ab = (a - b)^2$, то и разность между суммой квадратов и удвоенным произведением всегда неотрицательна:
$a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$

Прибавив $2ab$ к обеим частям неравенства, получим окончательный результат сравнения:
$a^2 + b^2 \ge 2ab$

Знак равенства в этом выражении достигается только тогда, когда $(a-b)^2 = 0$, что, в свою очередь, возможно только если $a-b = 0$, то есть $a = b$.

Ответ: Сумма квадратов двух произвольных действительных чисел всегда больше или равна их удвоенному произведению ($a^2 + b^2 \ge 2ab$). Равенство достигается в том и только в том случае, когда эти числа равны между собой.