Номер 10, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Верно ли утверждение:

1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$;

2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$;

3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$;

4) если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$;

5) если $a^2 > 1$, то $a > 1$?

1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$

Это утверждение не всегда верно. Его истинность зависит от знака переменной $b$. Если $b > 0$, то, разделив обе части неравенства $a > b$ на положительное число $b$, мы сохраним знак неравенства и получим $\frac{a}{b} > 1$. В этом случае утверждение верно. Однако, если $b < 0$, то при делении обеих частей неравенства $a > b$ на отрицательное число $b$, знак неравенства изменится на противоположный, и мы получим $\frac{a}{b} < 1$. Приведем контрпример, чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае. Пусть $a = -2$ и $b = -3$. Условие $a > b$ выполняется, так как $-2 > -3$. Но при этом частное $\frac{a}{b} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$, а $\frac{2}{3} < 1$. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: неверно.

2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$

Дано, что $a > 1$. Это означает, что $a$ — положительное число. Мы можем выполнять преобразования с неравенством. Возьмем данное условие $a > 1$. Разделим обе части неравенства на $a$. Поскольку $a > 0$, знак неравенства не изменится: $\frac{a}{a} > \frac{1}{a}$, то есть $1 > \frac{1}{a}$. Теперь умножим обе части на 2. Знак неравенства снова не изменится: $2 \cdot 1 > 2 \cdot \frac{1}{a}$, что дает $2 > \frac{2}{a}$. Это неравенство эквивалентно записи $\frac{2}{a} < 2$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$

Это утверждение не всегда верно. Нужно рассмотреть разные случаи для $a < 1$. Случай 1: $0 < a < 1$. В этом случае $a$ — положительное число. Умножая неравенство $\frac{2}{a} > 2$ на $a$, получим $2 > 2a$, или $1 > a$, что соответствует условию $0 < a < 1$. Для этого случая утверждение верно. Случай 2: $a < 0$. Возьмем контрпример. Пусть $a = -1$. Условие $a < 1$ выполняется, так как $-1 < 1$. Подставим $a = -1$ в итоговое неравенство: $\frac{2}{a} = \frac{2}{-1} = -2$. Проверяем утверждение: $\frac{2}{a} > 2$ становится $-2 > 2$, что является ложным. Поскольку мы нашли контрпример, общее утверждение неверно. (При $a=0$ выражение $\frac{2}{a}$ не определено).
Ответ: неверно.

4) если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$

Это утверждение не всегда верно. Его истинность зависит от знака переменной $b$. Если $b > 0$, то, умножив обе части неравенства $\frac{a}{b} > 1$ на $b$, мы сохраним знак и получим $a > b$. В этом случае утверждение верно. Однако, если $b < 0$, то при умножении на отрицательное число $b$ знак неравенства меняется на противоположный, и мы получим $a < b$. Приведем контрпример. Пусть $a = -3$ и $b = -2$. Проверим условие: $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Неравенство $1.5 > 1$ выполняется. Проверим заключение: является ли $a > b$? Верно ли, что $-3 > -2$? Нет, это ложь. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: неверно.

5) если $a^2 > 1$, то $a > 1$?

Это утверждение неверно. Рассмотрим неравенство $a^2 > 1$. Его можно переписать как $a^2 - 1 > 0$. Разложим левую часть на множители: $(a-1)(a+1) > 0$. Решением этого неравенства методом интервалов является объединение двух промежутков: $a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. То есть, условие $a^2 > 1$ выполняется, когда $a > 1$ или когда $a < -1$. Утверждение же гласит, что из $a^2 > 1$ следует только $a > 1$, игнорируя возможность $a < -1$. Приведем контрпример. Пусть $a = -2$. Условие $a^2 > 1$ выполняется, так как $(-2)^2 = 4$, и $4 > 1$. Однако заключение $a > 1$ не выполняется, так как $-2 \ngtr 1$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.