Номер 12, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Докажите неравенство:

1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4;$

2) $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0;$

3) $3(b - 1) < b(b + 1);$

4) $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p).$

1) Докажем неравенство $28a - 32 \le 7a^2 - 4$.
Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону и преобразуем выражение:
$0 \le 7a^2 - 28a - 4 + 32$
$0 \le 7a^2 - 28a + 28$
Разделим обе части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$0 \le a^2 - 4a + 4$
Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом разности:
$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$0 \le (a - 2)^2$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому неравенство $(a - 2)^2 \ge 0$ верно при любых значениях $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$.
Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:
$9x^2 - 6xy + 4y^2 = (9x^2 - 6xy + y^2) - y^2 + 4y^2$
Первые три слагаемых образуют квадрат разности $(3x - y)$, поэтому выражение можно записать в виде:
$(3x - y)^2 + 3y^2$
Неравенство принимает вид:
$(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$
Это неравенство верно для любых действительных чисел $x$ и $y$, так как:
1. $(3x - y)^2 \ge 0$ как квадрат любого действительного числа.
2. $3y^2 \ge 0$ как произведение положительного числа на квадрат действительного числа.
Сумма двух неотрицательных слагаемых также является неотрицательной.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $3(b - 1) < b(b + 1)$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в правую часть:
$3b - 3 < b^2 + b$
$0 < b^2 + b - 3b + 3$
$0 < b^2 - 2b + 3$
Рассмотрим выражение в правой части. Выделим в нем полный квадрат:
$b^2 - 2b + 3 = (b^2 - 2b + 1) + 2 = (b - 1)^2 + 2$
Неравенство принимает вид:
$0 < (b - 1)^2 + 2$
Поскольку $(b - 1)^2 \ge 0$ для любого $b$, то наименьшее значение выражения $(b - 1)^2 + 2$ равно 2 (при $b=1$). Таким образом, $(b - 1)^2 + 2$ всегда положительно.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$.
Выполним преобразования, раскрыв все скобки. Для $(p - 3)(p + 3)$ используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(4p^2 + 4p - p - 1) - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$
Приведем подобные слагаемые в первой скобке:
$(4p^2 + 3p - 1) - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$
Раскроем оставшиеся скобки:
$4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$
Вычтем из обеих частей неравенства выражение $3p^2 + 3p$:
$8 > 0$
В результате равносильных преобразований мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого $p$.
Ответ: Неравенство доказано.