Номер 6, страница 8 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Сравните значения выражений $(a-2)^2$ и $a(a-4)$ при значении $a$, равном:

1) 6;

2) -3;

3) 2.

Можно ли по результатам выполненных сравнений утверждать, что при любом значении $a$ значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения? Докажите, что при любом значении $a$ значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения.

Для сравнения значений выражений $(a-2)^2$ и $a(a-4)$ подставим в них заданные значения переменной $a$.

1) При $a=6$:
Значение первого выражения: $(a-2)^2 = (6-2)^2 = 4^2 = 16$.
Значение второго выражения: $a(a-4) = 6(6-4) = 6 \cdot 2 = 12$.
Так как $16 > 12$, то при $a=6$ значение первого выражения больше значения второго.
Ответ: при $a=6$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

2) При $a=-3$:
Значение первого выражения: $(a-2)^2 = (-3-2)^2 = (-5)^2 = 25$.
Значение второго выражения: $a(a-4) = -3(-3-4) = -3 \cdot (-7) = 21$.
Так как $25 > 21$, то при $a=-3$ значение первого выражения больше значения второго.
Ответ: при $a=-3$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

3) При $a=2$:
Значение первого выражения: $(a-2)^2 = (2-2)^2 = 0^2 = 0$.
Значение второго выражения: $a(a-4) = 2(2-4) = 2 \cdot (-2) = -4$.
Так как $0 > -4$, то при $a=2$ значение первого выражения больше значения второго.
Ответ: при $a=2$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.

Далее ответим на вопрос: "Можно ли по результатам выполненных сравнений утверждать, что при любом значении $a$ значение первого выражения больше соответствующего значения второго выражения?".
На основании только трех приведенных примеров нельзя сделать такой вывод. Тот факт, что неравенство выполняется для $a=6$, $a=-3$ и $a=2$, не является строгим доказательством того, что оно будет выполняться для всех возможных значений $a$. Для общего утверждения требуется отдельное доказательство.
Ответ: нет, нельзя.

Теперь докажем, что при любом значении $a$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.
Для этого найдем разность этих выражений. Если разность будет положительной при любом $a$, то первое выражение всегда больше второго.
Рассмотрим разность: $(a-2)^2 - a(a-4)$.
Преобразуем выражение, раскрыв скобки. Используем формулу квадрата разности для первого члена: $(a-2)^2 = a^2 - 4a + 4$.
$(a^2 - 4a + 4) - (a^2 - 4a) = a^2 - 4a + 4 - a^2 + 4a$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-4a + 4a) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4$.
Разность выражений равна постоянному положительному числу 4. Поскольку $(a-2)^2 - a(a-4) = 4$ и $4 > 0$, то неравенство $(a-2)^2 > a(a-4)$ верно при любом значении $a$.
Ответ: доказано, что при любом значении $a$ значение выражения $(a-2)^2$ больше значения выражения $a(a-4)$.