Номер 9, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1);$

2) $(x + 1)^2 > x(x + 2);$

3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8);$

4) $y(y + 8) < (y + 4)^2;$

5) $(2a - 5)^2 \leq 6a^2 - 20a + 25;$

6) $a^2 + 4 \geq 4a.$

Докажем неравенство $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$.

Для этого раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(p - 3)(p + 4) = p^2 + 4p - 3p - 12 = p^2 + p - 12$.

Правая часть: $p(p + 1) = p^2 + p$.

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$p^2 + p - 12 < p^2 + p$

Вычтем из обеих частей выражение $p^2 + p$:

$(p^2 + p - 12) - (p^2 + p) < 0$

$-12 < 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $p$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(x + 1)^2 > x(x + 2)$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Правая часть: $x(x + 2) = x^2 + 2x$.

Подставим в исходное неравенство:

$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$

Вычтем из обеих частей $x^2 + 2x$:

$1 > 0$

Получено верное числовое неравенство, не зависящее от $x$. Таким образом, исходное неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(a - 5)(a + 2) = a^2 + 2a - 5a - 10 = a^2 - 3a - 10$.

Правая часть: $(a + 5)(a - 8) = a^2 - 8a + 5a - 40 = a^2 - 3a - 40$.

Подставим обратно в неравенство:

$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$

Вычтем из обеих частей $a^2 - 3a$:

$-10 > -40$

Это верное числовое неравенство. Поскольку мы пришли к верному неравенству, не зависящему от $a$, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $y(y + 8) < (y + 4)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $y(y + 8) = y^2 + 8y$.

Правая часть по формуле квадрата суммы:

$(y + 4)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 + 8y + 16$.

Подставим в неравенство:

$y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$

Вычтем из обеих частей $y^2 + 8y$:

$0 < 16$

Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$.

Преобразуем левую часть по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 \le (6a^2 - 20a + 25) - (4a^2 - 20a + 25)$

$0 \le 6a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 20a - 25$

$0 \le 2a^2$

Квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Умножение на положительное число 2 не меняет знака неравенства, поэтому $2a^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$.

Так как мы пришли к верному неравенству, исходное неравенство также верно при любом $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $a^2 + 4 \ge 4a$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 4a + 4 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 \ge 0$

$(a - 2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа (в данном случае $a-2$) всегда больше или равен нулю. Это утверждение верно для любого значения $a$.

Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.