Страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:

1) $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1);$

2) $(x + 1)^2 > x(x + 2);$

3) $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8);$

4) $y(y + 8) < (y + 4)^2;$

5) $(2a - 5)^2 \leq 6a^2 - 20a + 25;$

6) $a^2 + 4 \geq 4a.$

Докажем неравенство $(p - 3)(p + 4) < p(p + 1)$.

Для этого раскроем скобки в обеих частях неравенства.

Левая часть: $(p - 3)(p + 4) = p^2 + 4p - 3p - 12 = p^2 + p - 12$.

Правая часть: $p(p + 1) = p^2 + p$.

Подставим полученные выражения обратно в неравенство:

$p^2 + p - 12 < p^2 + p$

Вычтем из обеих частей выражение $p^2 + p$:

$(p^2 + p - 12) - (p^2 + p) < 0$

$-12 < 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $p$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(x + 1)^2 > x(x + 2)$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1$.

Правая часть: $x(x + 2) = x^2 + 2x$.

Подставим в исходное неравенство:

$x^2 + 2x + 1 > x^2 + 2x$

Вычтем из обеих частей $x^2 + 2x$:

$1 > 0$

Получено верное числовое неравенство, не зависящее от $x$. Таким образом, исходное неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(a - 5)(a + 2) > (a + 5)(a - 8)$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $(a - 5)(a + 2) = a^2 + 2a - 5a - 10 = a^2 - 3a - 10$.

Правая часть: $(a + 5)(a - 8) = a^2 - 8a + 5a - 40 = a^2 - 3a - 40$.

Подставим обратно в неравенство:

$a^2 - 3a - 10 > a^2 - 3a - 40$

Вычтем из обеих частей $a^2 - 3a$:

$-10 > -40$

Это верное числовое неравенство. Поскольку мы пришли к верному неравенству, не зависящему от $a$, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $y(y + 8) < (y + 4)^2$.

Раскроем скобки в обеих частях.

Левая часть: $y(y + 8) = y^2 + 8y$.

Правая часть по формуле квадрата суммы:

$(y + 4)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^2 = y^2 + 8y + 16$.

Подставим в неравенство:

$y^2 + 8y < y^2 + 8y + 16$

Вычтем из обеих частей $y^2 + 8y$:

$0 < 16$

Мы получили верное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $(2a - 5)^2 \le 6a^2 - 20a + 25$.

Преобразуем левую часть по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(2a - 5)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 5 + 5^2 = 4a^2 - 20a + 25$.

Подставим полученное выражение в неравенство:

$4a^2 - 20a + 25 \le 6a^2 - 20a + 25$

Перенесем все слагаемые в правую часть:

$0 \le (6a^2 - 20a + 25) - (4a^2 - 20a + 25)$

$0 \le 6a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 20a - 25$

$0 \le 2a^2$

Квадрат любого действительного числа $a$ неотрицателен, то есть $a^2 \ge 0$. Умножение на положительное число 2 не меняет знака неравенства, поэтому $2a^2 \ge 0$ верно для любого значения $a$.

Так как мы пришли к верному неравенству, исходное неравенство также верно при любом $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

Докажем неравенство $a^2 + 4 \ge 4a$.

Перенесем все члены в левую часть:

$a^2 - 4a + 4 \ge 0$

Заметим, что выражение в левой части является полным квадратом разности по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$, где $x=a$ и $y=2$.

$a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 \ge 0$

$(a - 2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа (в данном случае $a-2$) всегда больше или равен нулю. Это утверждение верно для любого значения $a$.

Следовательно, исходное неравенство верно при любом значении $a$.

Ответ: Неравенство доказано.

10. Верно ли утверждение:

1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$;

2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$;

3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$;

4) если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$;

5) если $a^2 > 1$, то $a > 1$?

1) если $a > b$, то $\frac{a}{b} > 1$

Это утверждение не всегда верно. Его истинность зависит от знака переменной $b$. Если $b > 0$, то, разделив обе части неравенства $a > b$ на положительное число $b$, мы сохраним знак неравенства и получим $\frac{a}{b} > 1$. В этом случае утверждение верно. Однако, если $b < 0$, то при делении обеих частей неравенства $a > b$ на отрицательное число $b$, знак неравенства изменится на противоположный, и мы получим $\frac{a}{b} < 1$. Приведем контрпример, чтобы показать, что утверждение неверно в общем случае. Пусть $a = -2$ и $b = -3$. Условие $a > b$ выполняется, так как $-2 > -3$. Но при этом частное $\frac{a}{b} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$, а $\frac{2}{3} < 1$. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: неверно.

2) если $a > 1$, то $\frac{2}{a} < 2$

Дано, что $a > 1$. Это означает, что $a$ — положительное число. Мы можем выполнять преобразования с неравенством. Возьмем данное условие $a > 1$. Разделим обе части неравенства на $a$. Поскольку $a > 0$, знак неравенства не изменится: $\frac{a}{a} > \frac{1}{a}$, то есть $1 > \frac{1}{a}$. Теперь умножим обе части на 2. Знак неравенства снова не изменится: $2 \cdot 1 > 2 \cdot \frac{1}{a}$, что дает $2 > \frac{2}{a}$. Это неравенство эквивалентно записи $\frac{2}{a} < 2$. Следовательно, утверждение верно.
Ответ: верно.

3) если $a < 1$, то $\frac{2}{a} > 2$

Это утверждение не всегда верно. Нужно рассмотреть разные случаи для $a < 1$. Случай 1: $0 < a < 1$. В этом случае $a$ — положительное число. Умножая неравенство $\frac{2}{a} > 2$ на $a$, получим $2 > 2a$, или $1 > a$, что соответствует условию $0 < a < 1$. Для этого случая утверждение верно. Случай 2: $a < 0$. Возьмем контрпример. Пусть $a = -1$. Условие $a < 1$ выполняется, так как $-1 < 1$. Подставим $a = -1$ в итоговое неравенство: $\frac{2}{a} = \frac{2}{-1} = -2$. Проверяем утверждение: $\frac{2}{a} > 2$ становится $-2 > 2$, что является ложным. Поскольку мы нашли контрпример, общее утверждение неверно. (При $a=0$ выражение $\frac{2}{a}$ не определено).
Ответ: неверно.

4) если $\frac{a}{b} > 1$, то $a > b$

Это утверждение не всегда верно. Его истинность зависит от знака переменной $b$. Если $b > 0$, то, умножив обе части неравенства $\frac{a}{b} > 1$ на $b$, мы сохраним знак и получим $a > b$. В этом случае утверждение верно. Однако, если $b < 0$, то при умножении на отрицательное число $b$ знак неравенства меняется на противоположный, и мы получим $a < b$. Приведем контрпример. Пусть $a = -3$ и $b = -2$. Проверим условие: $\frac{a}{b} = \frac{-3}{-2} = 1.5$. Неравенство $1.5 > 1$ выполняется. Проверим заключение: является ли $a > b$? Верно ли, что $-3 > -2$? Нет, это ложь. Следовательно, утверждение в общем виде неверно.
Ответ: неверно.

5) если $a^2 > 1$, то $a > 1$?

Это утверждение неверно. Рассмотрим неравенство $a^2 > 1$. Его можно переписать как $a^2 - 1 > 0$. Разложим левую часть на множители: $(a-1)(a+1) > 0$. Решением этого неравенства методом интервалов является объединение двух промежутков: $a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$. То есть, условие $a^2 > 1$ выполняется, когда $a > 1$ или когда $a < -1$. Утверждение же гласит, что из $a^2 > 1$ следует только $a > 1$, игнорируя возможность $a < -1$. Приведем контрпример. Пусть $a = -2$. Условие $a^2 > 1$ выполняется, так как $(-2)^2 = 4$, и $4 > 1$. Однако заключение $a > 1$ не выполняется, так как $-2 \ngtr 1$. Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: неверно.

11. Докажите неравенство:

1) $2a^2 - 8a + 16 > 0;$

2) $4b^2 + 4b + 3 > 0;$

3) $a^2 + ab + b^2 \geq 0;$

4) $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12);$

5) $a(a - 3) > 5(a - 4);$

6) $(a - b)(a + 5b) \leq (2a + b)(a + 4b) + ab.$

1) Преобразуем левую часть неравенства $2a^2 - 8a + 16 > 0$, выделив в ней полный квадрат. Для этого вынесем за скобки коэффициент 2:
$2a^2 - 8a + 16 = 2(a^2 - 4a + 8)$.
Теперь выделим полный квадрат в выражении $a^2 - 4a + 8$:
$a^2 - 4a + 8 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 8 = (a - 2)^2 - 4 + 8 = (a - 2)^2 + 4$.
Таким образом, исходное выражение равно $2((a - 2)^2 + 4)$.
Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a - 2)^2 \ge 0$ для любого $a$.
Следовательно, $(a - 2)^2 + 4 \ge 4$.
Умножив обе части на 2, получим: $2((a - 2)^2 + 4) \ge 8$.
Так как $8 > 0$, то и исходное выражение $2a^2 - 8a + 16$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим левую часть неравенства $4b^2 + 4b + 3 > 0$ и выделим полный квадрат.
Заметим, что $4b^2 = (2b)^2$ и $4b = 2 \cdot (2b) \cdot 1$. Это наводит на мысль о формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
$4b^2 + 4b + 3 = (4b^2 + 4b + 1) + 2 = (2b + 1)^2 + 2$.
Выражение $(2b + 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно: $(2b + 1)^2 \ge 0$ для любого $b$.
Прибавляя к неотрицательному числу 2, получаем: $(2b + 1)^2 + 2 \ge 2$.
Поскольку $2 > 0$, то и выражение $4b^2 + 4b + 3$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Для доказательства неравенства $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ выделим в левой части полный квадрат относительно переменной $a$.
$a^2 + ab + b^2 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2) - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + b^2 - \frac{b^2}{4} = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$.
Полученное выражение представляет собой сумму двух слагаемых: $(a + \frac{b}{2})^2$ и $\frac{3}{4}b^2$.
Первое слагаемое, $(a + \frac{b}{2})^2$, является полным квадратом, следовательно, оно неотрицательно: $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$.
Второе слагаемое, $\frac{3}{4}b^2$, также неотрицательно, поскольку $b^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4} > 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Таким образом, $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Для доказательства неравенства $(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 > 3(4a - 12)$ раскроем скобки и упростим обе части.
Левая часть:
$(3a + 2)(2a - 4) - (2a - 5)^2 = (6a^2 - 12a + 4a - 8) - (4a^2 - 20a + 25) = (6a^2 - 8a - 8) - 4a^2 + 20a - 25 = 2a^2 + 12a - 33$.
Правая часть:
$3(4a - 12) = 12a - 36$.
Неравенство принимает вид:
$2a^2 + 12a - 33 > 12a - 36$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2a^2 + 12a - 33 - 12a + 36 > 0$.
$2a^2 + 3 > 0$.
Для любого действительного числа $a$ имеем $a^2 \ge 0$, следовательно $2a^2 \ge 0$.
Тогда $2a^2 + 3 \ge 3$.
Так как $3 > 0$, то неравенство $2a^2 + 3 > 0$ верно при любом $a$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Докажем неравенство $a(a - 3) > 5(a - 4)$. Для этого раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну часть.
$a^2 - 3a > 5a - 20$.
$a^2 - 3a - 5a + 20 > 0$.
$a^2 - 8a + 20 > 0$.
Выделим в левой части полный квадрат:
$a^2 - 8a + 20 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 20 = (a - 4)^2 - 16 + 20 = (a - 4)^2 + 4$.
Получили неравенство $(a - 4)^2 + 4 > 0$.
Так как $(a - 4)^2 \ge 0$ для любого $a$, то $(a - 4)^2 + 4 \ge 4$.
Поскольку $4 > 0$, то и выражение $(a - 4)^2 + 4$ всегда строго больше нуля.
Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Докажем неравенство $(a - b)(a + 5b) \le (2a + b)(a + 4b) + ab$. Упростим обе его части.
Левая часть:
$(a - b)(a + 5b) = a^2 + 5ab - ab - 5b^2 = a^2 + 4ab - 5b^2$.
Правая часть:
$(2a + b)(a + 4b) + ab = (2a^2 + 8ab + ab + 4b^2) + ab = 2a^2 + 9ab + 4b^2 + ab = 2a^2 + 10ab + 4b^2$.
Неравенство принимает вид:
$a^2 + 4ab - 5b^2 \le 2a^2 + 10ab + 4b^2$.
Перенесем все члены из левой части в правую:
$0 \le (2a^2 - a^2) + (10ab - 4ab) + (4b^2 - (-5b^2))$.
$0 \le a^2 + 6ab + 9b^2$.
Выражение в правой части является полным квадратом:
$a^2 + 6ab + 9b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a + 3b)^2$.
Таким образом, мы получили неравенство $0 \le (a + 3b)^2$, или $(a + 3b)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому это неравенство верно для любых значений $a$ и $b$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

12. Докажите неравенство:

1) $28a - 32 \le 7a^2 - 4;$

2) $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0;$

3) $3(b - 1) < b(b + 1);$

4) $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p).$

1) Докажем неравенство $28a - 32 \le 7a^2 - 4$.
Для этого перенесем все слагаемые в одну сторону и преобразуем выражение:
$0 \le 7a^2 - 28a - 4 + 32$
$0 \le 7a^2 - 28a + 28$
Разделим обе части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$0 \le a^2 - 4a + 4$
Заметим, что выражение в правой части является полным квадратом разности:
$a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$0 \le (a - 2)^2$
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю, поэтому неравенство $(a - 2)^2 \ge 0$ верно при любых значениях $a$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $9x^2 - 6xy + 4y^2 \ge 0$.
Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат:
$9x^2 - 6xy + 4y^2 = (9x^2 - 6xy + y^2) - y^2 + 4y^2$
Первые три слагаемых образуют квадрат разности $(3x - y)$, поэтому выражение можно записать в виде:
$(3x - y)^2 + 3y^2$
Неравенство принимает вид:
$(3x - y)^2 + 3y^2 \ge 0$
Это неравенство верно для любых действительных чисел $x$ и $y$, так как:
1. $(3x - y)^2 \ge 0$ как квадрат любого действительного числа.
2. $3y^2 \ge 0$ как произведение положительного числа на квадрат действительного числа.
Сумма двух неотрицательных слагаемых также является неотрицательной.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $3(b - 1) < b(b + 1)$.
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в правую часть:
$3b - 3 < b^2 + b$
$0 < b^2 + b - 3b + 3$
$0 < b^2 - 2b + 3$
Рассмотрим выражение в правой части. Выделим в нем полный квадрат:
$b^2 - 2b + 3 = (b^2 - 2b + 1) + 2 = (b - 1)^2 + 2$
Неравенство принимает вид:
$0 < (b - 1)^2 + 2$
Поскольку $(b - 1)^2 \ge 0$ для любого $b$, то наименьшее значение выражения $(b - 1)^2 + 2$ равно 2 (при $b=1$). Таким образом, $(b - 1)^2 + 2$ всегда положительно.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $(4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p)$.
Выполним преобразования, раскрыв все скобки. Для $(p - 3)(p + 3)$ используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$(4p^2 + 4p - p - 1) - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$
Приведем подобные слагаемые в первой скобке:
$(4p^2 + 3p - 1) - (p^2 - 9) > 3p^2 + 3p$
Раскроем оставшиеся скобки:
$4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3p^2 + 3p$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p$
Вычтем из обеих частей неравенства выражение $3p^2 + 3p$:
$8 > 0$
В результате равносильных преобразований мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство справедливо для любого $p$.
Ответ: Неравенство доказано.

13. Докажите, что:

1) $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$, если $a \ge 6$;

2) $ab + 1 > a + b$, если $a > 1$ и $b > 1$;

3) $\frac{a+3}{3} + \frac{3a-2}{4} < a$, если $a < -6$.

1) Докажем неравенство $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$ при условии $a \ge 6$.

Разложим левую часть неравенства на множители методом группировки:

$a^3 - 6a^2 + a - 6 = (a^3 - 6a^2) + (a - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a - 6) + 1(a - 6)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - 6)$:

$(a - 6)(a^2 + 1)$

Теперь проанализируем полученное выражение с учетом условия $a \ge 6$.

Первый множитель: $(a - 6)$. Так как $a \ge 6$, то $a - 6 \ge 0$. Этот множитель неотрицателен.

Второй множитель: $(a^2 + 1)$. Квадрат любого действительного числа $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$), следовательно, выражение $a^2 + 1$ всегда положительно ($a^2 + 1 \ge 1 > 0$).

Произведение неотрицательного множителя $(a - 6)$ и положительного множителя $(a^2 + 1)$ всегда будет неотрицательным. То есть, $(a - 6)(a^2 + 1) \ge 0$.

Таким образом, исходное неравенство $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$ верно при $a \ge 6$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажем неравенство $ab + 1 > a + b$ при условии $a > 1$ и $b > 1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ab - a - b + 1 > 0$

Сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$(ab - a) - (b - 1) > 0$

$a(b - 1) - 1(b - 1) > 0$

$(a - 1)(b - 1) > 0$

Теперь проанализируем полученное выражение с учетом заданных условий $a > 1$ и $b > 1$.

Первый множитель: $(a - 1)$. Так как $a > 1$, то $a - 1 > 0$. Этот множитель положителен.

Второй множитель: $(b - 1)$. Так как $b > 1$, то $b - 1 > 0$. Этот множитель также положителен.

Произведение двух положительных множителей $(a - 1)$ и $(b - 1)$ всегда будет положительным числом.

Следовательно, неравенство $(a - 1)(b - 1) > 0$ верно, а значит, верно и исходное неравенство $ab + 1 > a + b$ при заданных условиях.

Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Докажем неравенство $\frac{a + 3}{3} + \frac{3a - 2}{4} < a$ при условии $a < -6$.

Преобразуем левую часть неравенства, приведя дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{4(a + 3)}{12} + \frac{3(3a - 2)}{12} < a$

$\frac{4a + 12 + 9a - 6}{12} < a$

$\frac{13a + 6}{12} < a$

Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 > 0, знак неравенства не изменится:

$13a + 6 < 12a$

Перенесем члены с переменной $a$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$13a - 12a < -6$

$a < -6$

В результате равносильных преобразований мы получили неравенство $a < -6$, которое соответствует условию задачи. Так как все преобразования были равносильными, то исходное неравенство справедливо при всех $a$, удовлетворяющих условию $a < -6$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

14. Докажите, что:

1) $ab(b - a) \leq a^3 - b^3$, если $a \geq b$;

2) $\frac{a-1}{2} - \frac{a-2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$.

1) Требуется доказать, что $ab(b - a) \le a^3 - b^3$, если $a \ge b$.

Для доказательства преобразуем неравенство. Сначала используем формулу разности кубов для правой части: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Исходное неравенство принимает вид:

$ab(b - a) \le (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Так как $b - a = -(a - b)$, заменим выражение в левой части:

$-ab(a - b) \le (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы сравнить выражение с нулем. Перенесем левую часть вправо:

$0 \le (a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$0 \le (a - b)[(a^2 + ab + b^2) + ab]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$0 \le (a - b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы, то есть $(a + b)^2$.

Неравенство сводится к следующему:

$0 \le (a - b)(a + b)^2$

Проверим справедливость этого неравенства при заданном условии $a \ge b$.

1. Рассмотрим множитель $(a - b)$. По условию $a \ge b$, следовательно, разность $a - b \ge 0$, то есть этот множитель является неотрицательным.

2. Рассмотрим множитель $(a + b)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(a + b)^2 \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных чисел ($(a - b)$ и $(a + b)^2$) также всегда неотрицательно. Таким образом, неравенство $0 \le (a - b)(a + b)^2$ верно при условии $a \ge b$.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $ab(b - a) \le a^3 - b^3$ верно.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что $\frac{a-1}{2} - \frac{a-2}{3} > \frac{1}{2}$, если $a > 2$.

Для доказательства упростим левую часть неравенства. Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{3 \cdot (a-1)}{6} - \frac{2 \cdot (a-2)}{6} > \frac{1}{2}$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{3a - 3 - (2a - 4)}{6} > \frac{1}{2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3a - 3 - 2a + 4}{6} > \frac{1}{2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{a + 1}{6} > \frac{1}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$6 \cdot \frac{a + 1}{6} > 6 \cdot \frac{1}{2}$

$a + 1 > 3$

Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$a > 3 - 1$

$a > 2$

В результате равносильных преобразований мы получили неравенство $a > 2$, которое в точности совпадает с условием, данным в задаче. Следовательно, исходное неравенство является верным при всех $a > 2$.

Ответ: Доказано.

15. Сравните сумму квадратов двух произвольных действительных чисел и их удвоенное произведение.

Чтобы сравнить сумму квадратов двух произвольных действительных чисел и их удвоенное произведение, введем переменные. Пусть $a$ и $b$ — два произвольных действительных числа.

Сумма их квадратов записывается как $a^2 + b^2$.

Их удвоенное произведение записывается как $2ab$.

Для сравнения этих двух выражений найдем их разность:
$(a^2 + b^2) - 2ab$

Перегруппировав члены, мы получим выражение $a^2 - 2ab + b^2$. Это известная формула сокращенного умножения, а именно квадрат разности:
$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Поскольку $a$ и $b$ — действительные числа, их разность $(a - b)$ также является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Таким образом, мы можем утверждать, что:
$(a - b)^2 \ge 0$

Так как $(a^2 + b^2) - 2ab = (a - b)^2$, то и разность между суммой квадратов и удвоенным произведением всегда неотрицательна:
$a^2 + b^2 - 2ab \ge 0$

Прибавив $2ab$ к обеим частям неравенства, получим окончательный результат сравнения:
$a^2 + b^2 \ge 2ab$

Знак равенства в этом выражении достигается только тогда, когда $(a-b)^2 = 0$, что, в свою очередь, возможно только если $a-b = 0$, то есть $a = b$.

Ответ: Сумма квадратов двух произвольных действительных чисел всегда больше или равна их удвоенному произведению ($a^2 + b^2 \ge 2ab$). Равенство достигается в том и только в том случае, когда эти числа равны между собой.

16. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните:

1) квадрат среднего из этих чисел ($n^2$) и произведение двух других ($(n-1)(n+1)$);

2) удвоенный квадрат среднего из этих чисел ($2n^2$) и сумму квадратов двух других ($(n-1)^2 + (n+1)^2$).

Пусть три последовательных натуральных числа равны $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее 1 (то есть $n \ge 2$, чтобы $n-1$ было натуральным числом). Тогда среднее число — это $n$, а два других — это $n-1$ и $n+1$.

1) квадрат среднего из этих чисел и произведение двух других;

Нам нужно сравнить квадрат среднего числа и произведение двух других.

Квадрат среднего числа равен $n^2$.

Произведение двух других чисел равно $(n-1)(n+1)$.

Используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, преобразуем произведение:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь сравним полученные выражения: $n^2$ и $n^2 - 1$.
Очевидно, что $n^2$ больше, чем $n^2-1$, на единицу.
$n^2 > n^2 - 1$.

Ответ: квадрат среднего из этих чисел больше, чем произведение двух других.

2) удвоенный квадрат среднего из этих чисел и сумму квадратов двух других.

Нам нужно сравнить удвоенный квадрат среднего числа и сумму квадратов двух других.

Удвоенный квадрат среднего числа равен $2n^2$.

Сумма квадратов двух других чисел равна $(n-1)^2 + (n+1)^2$.

Используя формулы квадрата разности и квадрата суммы, раскроем скобки:
$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$
$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
Сложим эти два выражения:
$(n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1) = n^2 - 2n + 1 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2$.

Теперь сравним полученные выражения: $2n^2$ и $2n^2 + 2$.
Очевидно, что $2n^2$ меньше, чем $2n^2 + 2$, на двойку.
$2n^2 < 2n^2 + 2$.

Ответ: удвоенный квадрат среднего из этих чисел меньше, чем сумма квадратов двух других.

17. Сравните сумму квадратов двух положительных чисел и квадрат их суммы.

Чтобы сравнить сумму квадратов двух положительных чисел и квадрат их суммы, давайте обозначим эти числа как $a$ и $b$. Согласно условию, $a$ и $b$ являются положительными числами, что означает $a > 0$ и $b > 0$.

Первая величина — это сумма квадратов чисел: $a^2 + b^2$.

Вторая величина — это квадрат суммы чисел: $(a + b)^2$.

Для сравнения этих двух выражений найдем их разность. Вычтем из квадрата суммы сумму квадратов: $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$.

Раскроем скобки, используя известную формулу сокращенного умножения (квадрат суммы): $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Подставим это в наше выражение:

$(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 - b^2 = 2ab$.

Мы получили, что разность между квадратом суммы и суммой квадратов равна $2ab$.

Теперь проанализируем знак этого выражения. Так как по условию $a$ и $b$ — положительные числа, то $a > 0$ и $b > 0$. Произведение двух положительных чисел всегда положительно, поэтому $ab > 0$. Следовательно, и удвоенное произведение $2ab$ также будет строго больше нуля: $2ab > 0$.

Поскольку разность $(a + b)^2 - (a^2 + b^2)$ положительна, это означает, что уменьшаемое $(a + b)^2$ больше вычитаемого $(a^2 + b^2)$. Таким образом, мы приходим к неравенству: $(a + b)^2 > a^2 + b^2$.

Ответ: Квадрат суммы двух положительных чисел всегда больше суммы их квадратов.