Номер 16, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

16. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните:

1) квадрат среднего из этих чисел ($n^2$) и произведение двух других ($(n-1)(n+1)$);

2) удвоенный квадрат среднего из этих чисел ($2n^2$) и сумму квадратов двух других ($(n-1)^2 + (n+1)^2$).

Пусть три последовательных натуральных числа равны $n-1$, $n$ и $n+1$, где $n$ — натуральное число, большее 1 (то есть $n \ge 2$, чтобы $n-1$ было натуральным числом). Тогда среднее число — это $n$, а два других — это $n-1$ и $n+1$.

1) квадрат среднего из этих чисел и произведение двух других;

Нам нужно сравнить квадрат среднего числа и произведение двух других.

Квадрат среднего числа равен $n^2$.

Произведение двух других чисел равно $(n-1)(n+1)$.

Используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, преобразуем произведение:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$.

Теперь сравним полученные выражения: $n^2$ и $n^2 - 1$.
Очевидно, что $n^2$ больше, чем $n^2-1$, на единицу.
$n^2 > n^2 - 1$.

Ответ: квадрат среднего из этих чисел больше, чем произведение двух других.

2) удвоенный квадрат среднего из этих чисел и сумму квадратов двух других.

Нам нужно сравнить удвоенный квадрат среднего числа и сумму квадратов двух других.

Удвоенный квадрат среднего числа равен $2n^2$.

Сумма квадратов двух других чисел равна $(n-1)^2 + (n+1)^2$.

Используя формулы квадрата разности и квадрата суммы, раскроем скобки:
$(n-1)^2 = n^2 - 2n + 1$
$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
Сложим эти два выражения:
$(n^2 - 2n + 1) + (n^2 + 2n + 1) = n^2 - 2n + 1 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2$.

Теперь сравним полученные выражения: $2n^2$ и $2n^2 + 2$.
Очевидно, что $2n^2$ меньше, чем $2n^2 + 2$, на двойку.
$2n^2 < 2n^2 + 2$.

Ответ: удвоенный квадрат среднего из этих чисел меньше, чем сумма квадратов двух других.