Номер 18, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

18. Как изменится – увеличится или уменьшится – правильная дробь $a/b$, $a > 0, b > 0$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где по условию $a > 0$ и $b > 0$. Поскольку дробь правильная, её числитель меньше знаменателя, то есть $a < b$.

Увеличим числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же положительное число, которое обозначим как $x$. Следовательно, $x > 0$. Новая дробь примет вид $\frac{a+x}{b+x}$.

Чтобы выяснить, как изменилась дробь, необходимо сравнить её новое значение со старым. Для этого найдем разность между новой и исходной дробью:

$\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b}$

Для вычисления разности приведем дроби к общему знаменателю $b(b+x)$:

$\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b} = \frac{(a+x)b - a(b+x)}{b(b+x)} = \frac{ab + xb - ab - ax}{b(b+x)} = \frac{xb - ax}{b(b+x)}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(b-a)}{b(b+x)}$

Теперь определим знак этого выражения. Нам известно, что $x > 0$ (поскольку это число, на которое увеличивают), $b > 0$ (по условию), и $b-a > 0$ (так как $a < b$ для правильной дроби).

Числитель полученной дроби, $x(b-a)$, является произведением двух положительных чисел ($x > 0$ и $b-a > 0$), следовательно, числитель положителен. Знаменатель, $b(b+x)$, также является произведением положительных чисел ($b > 0$ и сумма $b+x > 0$), следовательно, знаменатель тоже положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель выражения $\frac{x(b-a)}{b(b+x)}$ положительны, то вся дробь положительна. Таким образом, мы имеем:

$\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b} > 0$

Из этого неравенства следует, что:

$\frac{a+x}{b+x} > \frac{a}{b}$

Это означает, что новая дробь больше исходной.

Ответ: правильная дробь увеличится.