Номер 19, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

19. Как изменится – увеличится или уменьшится – неправильная дробь $\frac{a}{b}, a > 0, b > 0$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Пусть дана неправильная дробь $ \frac{a}{b} $. По определению неправильной дроби, её числитель больше или равен знаменателю, то есть $ a \ge b $. По условию задачи $ a > 0 $ и $ b > 0 $.

Увеличим числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же положительное число $ c $, где $ c > 0 $. Получим новую дробь $ \frac{a+c}{b+c} $.

Чтобы определить, как изменилась дробь, сравним исходную и новую дроби, найдя их разность:

$ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ b(b+c) $:

$ \frac{(a+c)b}{b(b+c)} - \frac{a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{(a+c)b - a(b+c)}{b(b+c)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \frac{bc - ac}{b(b+c)} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $

Проанализируем знак полученного выражения. Знаменатель $ b(b+c) $ всегда положителен, так как по условию $ b > 0 $ и $ c > 0 $. Следовательно, знак разности определяется знаком числителя $ c(b-a) $. Поскольку $ c > 0 $, знак числителя зависит от знака выражения $ (b-a) $.

Рассмотрим два возможных случая для неправильной дроби ($ a \ge b $):

Случай 1: $ a > b $ (числитель строго больше знаменателя).
В этом случае разность $ b-a $ отрицательна. Следовательно, числитель $ c(b-a) $ также отрицателен. Тогда вся разность $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $ будет отрицательной (частное от деления отрицательного числа на положительное).
Из $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} < 0 $ следует, что $ \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b} $.
Это означает, что новая дробь меньше исходной, то есть дробь уменьшится.

Случай 2: $ a = b $ (числитель равен знаменателю).
В этом случае разность $ b-a = 0 $. Следовательно, числитель $ c(b-a) $ равен нулю. Тогда и вся разность $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $ равна нулю.
Из $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = 0 $ следует, что $ \frac{a+c}{b+c} = \frac{a}{b} $.
В этом случае дробь не изменится. Исходная дробь равна $ \frac{a}{a} = 1 $, и новая дробь $ \frac{a+c}{a+c} $ также равна 1.

Таким образом, при увеличении числителя и знаменателя неправильной дроби на одно и то же положительное число, дробь уменьшится (если она была больше 1) или не изменится (если она была равна 1).

Ответ: Неправильная дробь уменьшится. В частном случае, когда числитель неправильной дроби равен ее знаменателю (т.е. дробь равна 1), она не изменится.