Номер 25, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

25. Докажите, что если $a < b < c$, то $a < \frac{a+b+c}{3} < c$.

Для доказательства двойного неравенства $a < \frac{a+b+c}{3} < c$ нам необходимо доказать два неравенства по отдельности: $a < \frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{a+b+c}{3} < c$.

Доказательство неравенства $a < \frac{a+b+c}{3}$

По условию задачи дано, что $a < b < c$. Это означает, что $a$ является наименьшим из трех чисел, следовательно, верны неравенства $a < b$ и $a < c$.
Рассмотрим три верных утверждения:
1. $a = a$
2. $a < b$ (из условия)
3. $a < c$ (так как $a < b$ и $b < c$)
Сложим левые и правые части этих утверждений. Поскольку мы складываем одно точное равенство и два строгих неравенства, итоговое неравенство будет строгим:
$a + a + a < a + b + c$
$3a < a + b + c$
Теперь разделим обе части полученного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{3a}{3} < \frac{a+b+c}{3}$
$a < \frac{a+b+c}{3}$
Таким образом, первая часть двойного неравенства доказана.

Доказательство неравенства $\frac{a+b+c}{3} < c$

Аналогично, из условия $a < b < c$ следует, что $c$ является наибольшим из трех чисел. Следовательно, верны неравенства $a < c$ и $b < c$.
Рассмотрим три верных утверждения:
1. $a < c$ (так как $a < b$ и $b < c$)
2. $b < c$ (из условия)
3. $c = c$
Сложим левые и правые части этих утверждений:
$a + b + c < c + c + c$
$a + b + c < 3c$
Разделим обе части этого неравенства на 3. Знак неравенства сохранится:
$\frac{a+b+c}{3} < \frac{3c}{3}$
$\frac{a+b+c}{3} < c$
Таким образом, вторая часть двойного неравенства доказана.

Поскольку мы доказали обе части двойного неравенства ($a < \frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{a+b+c}{3} < c$), мы можем утверждать, что исходное утверждение верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что если $a < b < c$, то $a < \frac{a+b+c}{3} < c$, доказано.