Номер 32, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

32. Поясните, почему при любых значениях переменной (или переменных) верно неравенство:

1) $a^2 \ge 0;$

2) $a^2 + 1 > 0;$

3) $(a + 1)^2 \ge 0;$

4) $a^2 - 4a + 4 \ge 0;$

5) $a^2 + b^2 \ge 0;$

6) $a^2 + b^2 + 2 > 0;$

7) $(a - 2)^2 + (b + 1)^2 \ge 0;$

8) $\sqrt{a^2 + 3} > 0.$

1) $a^2 \ge 0$;

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной. Если число $a$ положительное, то его квадрат $a^2$ положителен. Если число $a$ отрицательное, то его квадрат $a^2$ также положителен (произведение двух отрицательных чисел). Если $a = 0$, то $a^2 = 0$. Таким образом, при любом значении переменной $a$ выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю. Равенство достигается при $a = 0$.
Ответ: Неравенство верно, так как квадрат любого числа всегда неотрицателен.

2) $a^2 + 1 > 0$;

Из предыдущего пункта мы знаем, что $a^2 \ge 0$ для любого значения $a$. Если к обеим частям этого неравенства прибавить 1, получим $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$. Поскольку $1 > 0$, то и $a^2 + 1$ всегда будет строго больше нуля. Минимальное значение выражения $a^2 + 1$ равно 1 (при $a=0$).
Ответ: Неравенство верно, так как оно представляет собой сумму неотрицательного числа $a^2$ и положительного числа 1.

3) $(a + 1)^2 \ge 0$;

Это выражение является квадратом некоторого числа, а именно числа $(a + 1)$. Как и в пункте 1, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Вне зависимости от значения $a$, выражение $(a+1)$ будет каким-либо действительным числом, и его квадрат будет больше или равен нулю. Равенство нулю достигается, когда $a + 1 = 0$, то есть при $a = -1$.
Ответ: Неравенство верно, так как левая часть представляет собой квадрат выражения, а квадрат любого числа всегда неотрицателен.

4) $a^2 - 4a + 4 \ge 0$;

Выражение в левой части неравенства является полным квадратом. Используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, мы можем свернуть его: $a^2 - 4a + 4 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = (a - 2)^2$. Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству $(a - 2)^2 \ge 0$. Как было показано ранее, квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Равенство достигается при $a - 2 = 0$, то есть при $a = 2$.
Ответ: Неравенство верно, так как его левая часть является полным квадратом $(a-2)^2$, который всегда неотрицателен.

5) $a^2 + b^2 \ge 0$;

Данное неравенство содержит две переменные. Для любых действительных чисел $a$ и $b$ верны неравенства $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом. Следовательно, $a^2 + b^2 \ge 0$. Равенство нулю возможно только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю одновременно, то есть $a^2 = 0$ и $b^2 = 0$, что означает $a = 0$ и $b = 0$.
Ответ: Неравенство верно, так как оно представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых $a^2$ и $b^2$.

6) $a^2 + b^2 + 2 > 0$;

Как было установлено в пункте 5, сумма квадратов $a^2 + b^2$ всегда неотрицательна: $a^2 + b^2 \ge 0$. Прибавив к обеим частям этого неравенства положительное число 2, мы получим $a^2 + b^2 + 2 \ge 2$. Так как $2 > 0$, то и все выражение $a^2 + b^2 + 2$ будет всегда строго больше нуля. Его наименьшее значение равно 2 и достигается при $a = 0$ и $b = 0$.
Ответ: Неравенство верно, так как представляет собой сумму неотрицательного выражения $a^2+b^2$ и положительного числа 2.

7) $(a - 2)^2 + (b + 1)^2 \ge 0$;

Левая часть этого неравенства является суммой двух слагаемых: $(a - 2)^2$ и $(b + 1)^2$. Каждое из этих слагаемых представляет собой квадрат некоторого действительного числа, а значит, каждое из них неотрицательно: $(a - 2)^2 \ge 0$ и $(b + 1)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Равенство нулю достигается только тогда, когда оба слагаемых равны нулю: $a - 2 = 0$ и $b + 1 = 0$, то есть при $a = 2$ и $b = -1$.
Ответ: Неравенство верно, так как является суммой двух квадратов, каждый из которых неотрицателен.

8) $\sqrt{a^2 + 3} > 0$;

Рассмотрим подкоренное выражение $a^2 + 3$. Так как $a^2 \ge 0$ для любого $a$, то $a^2 + 3 \ge 3$. Это означает, что подкоренное выражение всегда является строго положительным числом. Арифметический квадратный корень из строго положительного числа всегда является строго положительным числом. Наименьшее значение подкоренного выражения равно 3 (при $a=0$), следовательно, наименьшее значение всего выражения равно $\sqrt{3}$. Поскольку $\sqrt{3} > 0$, то и исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$.
Ответ: Неравенство верно, так как подкоренное выражение $a^2+3$ всегда строго положительно, а корень из положительного числа также положителен.