Номер 33, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

33. Сравните с нулём значение выражения, где $a$ — произвольное число:

1) $4 + a^2;$

2) $(4 - a)^2;$

3) $-4 - a^2;$

4) $-4 - (a - 4)^2;$

5) $(-4)^8 + (a - 8)^4;$

6) $(4 - a)^2 + (4a - 1000)^2.$

1) Рассмотрим выражение $4 + a^2$.

Квадрат любого произвольного числа $a$, то есть $a^2$, является неотрицательной величиной. Это означает, что $a^2 \ge 0$.

Следовательно, сумма положительного числа 4 и неотрицательного числа $a^2$ всегда будет положительной. Точнее, $4 + a^2 \ge 4 + 0$, то есть $4 + a^2 \ge 4$.

Поскольку $4 > 0$, то и выражение $4 + a^2$ всегда больше нуля.

Ответ: значение выражения больше нуля.

2) Рассмотрим выражение $(4 - a)^2$.

Данное выражение представляет собой квадрат числа $(4 - a)$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть большим или равным нулю.

Таким образом, $(4 - a)^2 \ge 0$ для любого значения $a$.

Значение выражения равно нулю, если $4 - a = 0$, то есть при $a = 4$. Во всех остальных случаях значение выражения строго больше нуля.

Ответ: значение выражения больше или равно нулю.

3) Рассмотрим выражение $-4 - a^2$.

Мы знаем, что $a^2 \ge 0$. Умножив это неравенство на -1, получим $-a^2 \le 0$.

Выражение $-4 - a^2$ можно представить как сумму отрицательного числа -4 и неположительного числа $-a^2$.

Так как $-a^2 \le 0$, то $-4 - a^2 \le -4 + 0$, то есть $-4 - a^2 \le -4$.

Поскольку $-4 < 0$, то и выражение $-4 - a^2$ всегда меньше нуля.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

4) Рассмотрим выражение $-4 - (a - 4)^2$.

Выражение $(a - 4)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(a - 4)^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение $-(a - 4)^2$ всегда неположительно: $-(a - 4)^2 \le 0$.

Мы вычитаем из -4 неотрицательное число или, что то же самое, прибавляем к -4 неположительное число. Результат всегда будет меньше или равен -4.

$-4 - (a - 4)^2 \le -4$.

Так как $-4 < 0$, то значение выражения всегда меньше нуля.

Ответ: значение выражения меньше нуля.

5) Рассмотрим выражение $(-4)^8 + (a - 8)^4$.

Первое слагаемое, $(-4)^8$, это отрицательное число, возведенное в четную степень (8). Результат будет положительным: $(-4)^8 = 4^8 > 0$.

Второе слагаемое, $(a - 8)^4$, это выражение, возведенное в четную степень (4). Следовательно, его значение всегда неотрицательно: $(a - 8)^4 \ge 0$.

Сумма строго положительного числа $4^8$ и неотрицательного числа $(a - 8)^4$ всегда будет строго положительной.

$(-4)^8 + (a - 8)^4 \ge 4^8 + 0 > 0$.

Ответ: значение выражения больше нуля.

6) Рассмотрим выражение $(4 - a)^2 + (4a - 1000)^2$.

Это выражение является суммой двух квадратов.

Первое слагаемое, $(4 - a)^2$, неотрицательно: $(4 - a)^2 \ge 0$. Оно равно нулю только при $a = 4$.

Второе слагаемое, $(4a - 1000)^2$, также неотрицательно: $(4a - 1000)^2 \ge 0$. Оно равно нулю только при $4a - 1000 = 0$, то есть при $a = 250$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Чтобы вся сумма была равна нулю, необходимо, чтобы оба слагаемых были равны нулю одновременно. Однако, это невозможно, так как переменная $a$ не может одновременно быть равной 4 и 250.

Это означает, что хотя бы одно из слагаемых всегда будет строго положительным. Следовательно, их сумма всегда будет строго больше нуля.

Ответ: значение выражения больше нуля.