Номер 28, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

28. Докажите неравенство:

1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0$;

2) $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0$;

3) $2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \ge 0$;

4) $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)$;

5) $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab$.

1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0;$
Для доказательства данного неравенства сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $a$ и $b$, и выделим полные квадраты.
Исходное выражение: $a^2 + 6a + b^2 - 4b + 13 \ge 0$
Группируем: $(a^2 + 6a) + (b^2 - 4b) + 13 \ge 0$
Дополним каждую группу до полного квадрата. Формула полного квадрата суммы/разности: $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.
Для группы с $a$: $a^2 + 6a = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2=9$.
Для группы с $b$: $b^2 - 4b = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $2^2=4$.
Представим число $13$ как сумму $9+4$.
$(a^2 + 6a + 9) + (b^2 - 4b + 4) \ge 0$
Теперь свернем выражения в скобках по формулам полного квадрата:
$(a+3)^2 + (b-2)^2 \ge 0$
Выражение $(a+3)^2$ всегда больше или равно нулю, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Аналогично, $(b-2)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Таким образом, неравенство верно для любых значений $a$ и $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0;$
Как и в предыдущем задании, выделим полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 10y) + 28 > 0$
Дополним до полных квадратов:
Для $x$: $x^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1$. Нужно добавить $1^2=1$.
Для $y$: $y^2 + 10y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 5$. Нужно добавить $5^2=25$.
Представим $28$ как $1+25+2$.
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 10y + 25) + 2 > 0$
Свернем полные квадраты:
$(x-1)^2 + (y+5)^2 + 2 > 0$
Выражения $(x-1)^2$ и $(y+5)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны: $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+5)^2 \ge 0$.
Следовательно, их сумма также неотрицательна: $(x-1)^2 + (y+5)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному числу положительное число $2$, мы получаем сумму, которая всегда будет больше или равна $2$.
$(x-1)^2 + (y+5)^2 + 2 \ge 2$
Поскольку $2 > 0$, исходное неравенство всегда верно.
Ответ: Неравенство доказано.

3) $2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \ge 0;$
Для доказательства этого неравенства также воспользуемся методом выделения полного квадрата. Представим $2m^2$ как $m^2+m^2$ и перегруппируем слагаемые.
$(m^2 - 6mn + 9n^2) + (m^2 - 6m + 9) \ge 0$
Рассмотрим каждое выражение в скобках отдельно.
Первое выражение: $m^2 - 6mn + 9n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot (3n) + (3n)^2 = (m-3n)^2$. Но это неверно, т.к. в исходном выражении $-6mn$. Давайте попробуем сгруппировать по-другому.
Давайте сгруппируем так: $(9n^2 - 6mn + m^2) + (m^2 - 6m + 9) \ge 0$. Это верная перегруппировка исходного выражения, если представить $2m^2 = m^2+m^2$.
Первое выражение в скобках: $9n^2 - 6mn + m^2 = (3n)^2 - 2 \cdot (3n) \cdot m + m^2 = (3n-m)^2$.
Второе выражение в скобках: $m^2 - 6m + 9 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = (m-3)^2$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$(3n-m)^2 + (m-3)^2 \ge 0$
Левая часть неравенства представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(3n-m)^2 \ge 0$ и $(m-3)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4) $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c);$
Сначала раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые в левую часть.
$a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4a + 4b + 4c$
$a^2 - 4a + b^2 - 4b + c^2 - 4c + 12 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты.
$(a^2 - 4a) + (b^2 - 4b) + (c^2 - 4c) + 12 \ge 0$
Для каждой группы нужно добавить $2^2=4$ для получения полного квадрата. Заметим, что $12 = 4+4+4$.
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4) + (c^2 - 4c + 4) \ge 0$
Свернем полные квадраты:
$(a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 \ge 0$
Левая часть неравенства является суммой трех квадратов. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, каждое из слагаемых $(a-2)^2$, $(b-2)^2$ и $(c-2)^2$ больше или равно нулю. Их сумма также всегда будет неотрицательной.
Ответ: Неравенство доказано.

5) $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab.$
Перенесем слагаемое $4ab$ в левую часть неравенства.
$a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 - 4ab \ge 0$
Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить сумму полных квадратов. Разделим $-4ab$ на $-2ab$ и $-2ab$.
$(a^2b^2 - 2ab + 1) + (a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$
Рассмотрим каждое выражение в скобках.
Первое выражение: $a^2b^2 - 2ab + 1 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = (ab-1)^2$.
Второе выражение: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему:
$(ab-1)^2 + (a-b)^2 \ge 0$
Левая часть этого неравенства является суммой двух квадратов. Как известно, квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная. Значит, $(ab-1)^2 \ge 0$ и $(a-b)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.