Номер 35, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

35. Все натуральные числа от 1 до 1000 включительно разбиты на две группы: чётные числа и нечётные числа. В какой из групп сумма всех цифр, используемых для записи чисел, больше и на сколько?

Для решения этой задачи разобьем все числа от 1 до 1000 на две группы:

• Группа нечётных чисел: {1, 3, 5, ..., 999}. В этой группе 500 чисел.
• Группа чётных чисел: {2, 4, 6, ..., 1000}. В этой группе также 500 чисел.

Обозначим сумму цифр всех чисел в группе нечётных чисел как $S_{нечёт}$ и сумму цифр всех чисел в группе чётных чисел как $S_{чёт}$. Нам нужно сравнить эти две суммы.

Удобный способ сравнения — разбить все числа на 500 пар последовательных чисел, где первое число нечётное, а второе — чётное: (1, 2), (3, 4), (5, 6), ..., (999, 1000).

Общая разность между суммами цифр в двух группах будет равна сумме разностей в каждой паре:$S_{чёт} - S_{нечёт} = (S(2) - S(1)) + (S(4) - S(3)) + \dots + (S(1000) - S(999))$где $S(n)$ — это сумма цифр числа $n$.

Рассмотрим разность сумм цифр $S(n+1) - S(n)$ для произвольной пары, где $n$ — нечётное число.

1. Случай, когда нечётное число $n$ не оканчивается на 9.

Если последняя цифра числа $n$ не является девяткой, то при прибавлении 1 изменяется только последняя цифра (она увеличивается на 1), а остальные цифры остаются прежними. Например, для пары (123, 124):$S(123) = 1+2+3=6$$S(124) = 1+2+4=7$Разность $S(124) - S(123) = 1$.Это верно для любой пары $(n, n+1)$, где $n$ — нечётное и не оканчивается на 9. Сумма цифр чётного числа в такой паре на 1 больше, чем у нечётного.

В диапазоне от 1 до 999 всего 500 нечётных чисел. Числа, оканчивающиеся на 9, это 9, 19, 29, ..., 999. Таких чисел 100.Следовательно, количество нечётных чисел, не оканчивающихся на 9, равно $500 - 100 = 400$.Вклад этих 400 пар в общую разность составляет $400 \times (+1) = 400$.

2. Случай, когда нечётное число $n$ оканчивается на 9.

Если число $n$ оканчивается на одну или несколько девяток, то при прибавлении 1 происходит перенос разряда.Пусть число $n$ оканчивается ровно на $m$ девяток. Его можно представить в виде $n = A \cdot 10^m - 1$, где число $A$ не оканчивается на 0. (Например, для $n=499$, $m=2$, $A=50$). Более общая запись: $n = K \underbrace{9...9}_{m}$, где последняя цифра числа $K$ не равна 9. Тогда $n+1 = (K+1)\underbrace{0...0}_{m}$.Сумма цифр $S(n) = S(K) + 9m$.Поскольку последняя цифра $K$ не 9, то $S(K+1) = S(K)+1$.Сумма цифр $S(n+1) = S(K+1) = S(K)+1$.Разность в такой паре составляет: $S(n+1) - S(n) = (S(K)+1) - (S(K)+9m) = 1 - 9m$.

Теперь посчитаем количество таких пар для разных $m$:

• $m=1$: Число $n$ оканчивается на одну 9 (например, 9, 19, 29, ..., но не 99, 199). Всего нечётных чисел, оканчивающихся на 9, — 100. Из них 10 чисел оканчиваются на 99 (99, 199, ..., 999). Значит, чисел, оканчивающихся ровно на одну 9, будет $100 - 10 = 90$. Для каждой такой пары разность равна $1 - 9 \times 1 = -8$. Вклад этих 90 пар в общую разность: $90 \times (-8) = -720$.
• $m=2$: Число $n$ оканчивается ровно на две 9 (например, 99, 199, ..., но не 999). Таких чисел 9: 99, 199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899. Для каждой такой пары разность равна $1 - 9 \times 2 = -17$. Вклад этих 9 пар в общую разность: $9 \times (-17) = -153$.
• $m=3$: Число $n$ оканчивается на три 9. В нашем диапазоне это только одно число: 999. Для этой пары (999, 1000) разность равна $1 - 9 \times 3 = -26$. (Проверка: $S(999)=27$, $S(1000)=1$, разность $1-27=-26$). Вклад этой пары: $1 \times (-26) = -26$.

Итоговый расчёт.

Сложим вклады от всех 500 пар, чтобы найти общую разность $S_{чёт} - S_{нечёт}$:$\Delta = 400 + (-720) + (-153) + (-26) = 400 - 720 - 153 - 26 = -320 - 153 - 26 = -473 - 26 = -499$.

Таким образом, $S_{чёт} - S_{нечёт} = -499$, что означает $S_{нечёт} - S_{чёт} = 499$.Сумма цифр в группе нечётных чисел больше, чем в группе чётных чисел.

Ответ: Сумма всех цифр больше в группе нечётных чисел на 499.