Номер 34, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

34. Упростите выражение:

1) $2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a)$;

2) $(2b - 3)(4b + 9)$;

3) $(2c - 6)(8c + 5) - (5c + 2)(5c - 2)$;

4) $16m^2 - (3 - 4m)(3 + 4m)$;

5) $(2x - 1)^2 + (2x + 1)^2$;

6) $(x - 4)(x + 4) - (x - 8)^2$.

1) $2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a)$

Для упрощения этого выражения сначала раскроем скобки. Для этого умножим одночлены $2a$ и $-5a$ на многочлены в скобках:
$2a(5a - 7) - 5a(3 - 2a) = (2a \cdot 5a + 2a \cdot (-7)) - (5a \cdot 3 + 5a \cdot (-2a))$
$= 10a^2 - 14a - (15a - 10a^2)$
Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки на противоположные:
$= 10a^2 - 14a - 15a + 10a^2$
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с $a^2$ и члены с $a$:
$= (10a^2 + 10a^2) + (-14a - 15a) = 20a^2 - 29a$.

Ответ: $20a^2 - 29a$

2) $(2b - 3)(4b + 9)$

Чтобы перемножить два двучлена, воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(2b - 3)(4b + 9) = 2b \cdot 4b + 2b \cdot 9 - 3 \cdot 4b - 3 \cdot 9$
Выполним умножение:
$= 8b^2 + 18b - 12b - 27$
Теперь приведем подобные слагаемые (члены с переменной $b$):
$= 8b^2 + (18b - 12b) - 27 = 8b^2 + 6b - 27$.

Ответ: $8b^2 + 6b - 27$

3) $(2c - 6)(8c + 5) - (5c + 2)(5c - 2)$

Упростим выражение по частям.
Сначала раскроем произведение первых двух скобок:
$(2c - 6)(8c + 5) = 2c \cdot 8c + 2c \cdot 5 - 6 \cdot 8c - 6 \cdot 5 = 16c^2 + 10c - 48c - 30 = 16c^2 - 38c - 30$.
Теперь упростим вторую часть. Произведение $(5c + 2)(5c - 2)$ является формулой разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(5c + 2)(5c - 2) = (5c)^2 - 2^2 = 25c^2 - 4$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(16c^2 - 38c - 30) - (25c^2 - 4)$
Раскроем скобки, изменив знаки второго выражения на противоположные:
$= 16c^2 - 38c - 30 - 25c^2 + 4$
Приведем подобные слагаемые:
$= (16c^2 - 25c^2) - 38c + (-30 + 4) = -9c^2 - 38c - 26$.

Ответ: $-9c^2 - 38c - 26$

4) $16m^2 - (3 - 4m)(3 + 4m)$

Заметим, что произведение $(3 - 4m)(3 + 4m)$ соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=3$ и $b=4m$.
Применим формулу:
$(3 - 4m)(3 + 4m) = 3^2 - (4m)^2 = 9 - 16m^2$.
Подставим результат в исходное выражение:
$16m^2 - (9 - 16m^2)$
Раскроем скобки, поменяв знаки внутри них:
$= 16m^2 - 9 + 16m^2$
Приведем подобные слагаемые:
$= (16m^2 + 16m^2) - 9 = 32m^2 - 9$.

Ответ: $32m^2 - 9$

5) $(2x - 1)^2 + (2x + 1)^2$

Для упрощения этого выражения используем формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Раскроем первую скобку (квадрат разности):
$(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Раскроем вторую скобку (квадрат суммы):
$(2x + 1)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 + 4x + 1$.
Теперь сложим полученные выражения:
$(4x^2 - 4x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) = 4x^2 - 4x + 1 + 4x^2 + 4x + 1$
Приведем подобные слагаемые:
$= (4x^2 + 4x^2) + (-4x + 4x) + (1 + 1) = 8x^2 + 0 + 2 = 8x^2 + 2$.

Ответ: $8x^2 + 2$

6) $(x - 4)(x + 4) - (x - 8)^2$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.
Первая часть $(x - 4)(x + 4)$ — это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:
$x^2 - 4^2 = x^2 - 16$.
Вторая часть $(x - 8)^2$ — это формула квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:
$x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 - 16x + 64$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(x^2 - 16) - (x^2 - 16x + 64)$
Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:
$= x^2 - 16 - x^2 + 16x - 64$
Приведем подобные слагаемые:
$= (x^2 - x^2) + 16x + (-16 - 64) = 0 + 16x - 80 = 16x - 80$.

Ответ: $16x - 80$