Номер 2, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Сформулируйте теорему о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа.

Теорема о прибавлении к обеим частям неравенства одного и того же числа формулируется следующим образом: если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство, причём знак неравенства не изменится.

Это свойство можно записать в общем виде с помощью переменных. Пусть $a$, $b$ и $c$ — любые действительные числа. Тогда:
- если $a > b$, то $a + c > b + c$;
- если $a < b$, то $a + c < b + c$;
- если $a \ge b$, то $a + c \ge b + c$;
- если $a \le b$, то $a + c \le b + c$.

Доказательство для знака ">":
По определению, неравенство $a > b$ означает, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Рассмотрим разность левой и правой частей нового неравенства $a + c > b + c$:
$(a + c) - (b + c) = a + c - b - c = a - b$.
Так как по условию $a - b > 0$, то и разность $(a + c) - (b + c)$ тоже положительна. А это, по определению, означает, что $a + c > b + c$. Доказательство для других знаков неравенства проводится аналогично.

Пример:
Возьмем верное неравенство $8 > 3$.
1. Прибавим к обеим частям число 5:
$8 + 5 > 3 + 5$
$13 > 8$ (получилось верное неравенство).
2. Вычтем из обеих частей число 2 (что равносильно прибавлению -2):
$8 - 2 > 3 - 2$
$6 > 1$ (получилось верное неравенство).

Следствие:
Эта теорема позволяет переносить любое слагаемое из одной части неравенства в другую, изменяя его знак на противоположный. Это является одним из основных методов при решении неравенств. Например, из неравенства $x + 7 < 10$ следует $x < 10 - 7$.

Ответ: Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить одно и то же число (или из обеих частей вычесть одно и то же число), то получится верное неравенство того же знака. В виде формулы: для любых чисел $a, b, c$, если $a > b$, то $a + c > b + c$.