Номер 4, страница 14 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Сформулируйте теорему об умножении обеих частей неравенства на одно и то же число.

Теорема об умножении обеих частей неравенства на одно и то же число формулируется в виде двух правил, которые зависят от знака этого числа.

Правило 1: Умножение на положительное число

Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же положительное число, то знак неравенства следует сохранить. В результате получится новое верное неравенство.

В общем виде:

Если $a < b$ и $c > 0$, то $ac < bc$.

Если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.

Пример: Возьмем верное неравенство $15 > 6$. Умножим обе части на положительное число $2$:
$15 \cdot 2 > 6 \cdot 2$
$30 > 12$. Неравенство осталось верным, его знак сохранился.

Правило 2: Умножение на отрицательное число

Если обе части верного неравенства умножить (или разделить) на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства следует изменить на противоположный (то есть, знак < на $>$, $>$ на <, $\leq$ на $\geq$, $\geq$ на $\leq$). В результате получится новое верное неравенство.

В общем виде:

Если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$.

Если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.

Пример: Снова возьмем неравенство $15 > 6$. Умножим обе части на отрицательное число $-3$:
$15 \cdot (-3) < 6 \cdot (-3)$
$-45 < -18$. Неравенство является верным, а его знак был изменен на противоположный.

Ответ: При умножении обеих частей верного неравенства на одно и то же число:
1. Если это число положительное, то знак неравенства сохраняется.
2. Если это число отрицательное, то знак неравенства изменяется на противоположный.