Номер 31, страница 11 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

31. Что можно сказать о знаках чисел a и b, если:

1) $ab > 0;$

2) $ab < 0;$

3) $\frac{a}{b} > 0;$

4) $\frac{a}{b} < 0;$

5) $a^2b > 0;$

6) $a^2b < 0?$

1) Если произведение двух чисел $ab$ больше нуля, это означает, что оба числа имеют одинаковый знак. Это возможно в двух случаях: либо оба числа положительные ($a > 0$ и $b > 0$), либо оба числа отрицательные ($a < 0$ и $b < 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

2) Если произведение двух чисел $ab$ меньше нуля, это означает, что числа имеют разные знаки. Это возможно в двух случаях: либо $a$ положительное, а $b$ отрицательное ($a > 0$ и $b < 0$), либо $a$ отрицательное, а $b$ положительное ($a < 0$ и $b > 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки (одно положительное, другое отрицательное).

3) Если частное двух чисел $\frac{a}{b}$ больше нуля, то, как и в случае с произведением, это означает, что оба числа имеют одинаковый знак. Из самого вида дроби следует, что $b \ne 0$. Возможны два случая: либо оба числа положительные ($a > 0$ и $b > 0$), либо оба числа отрицательные ($a < 0$ и $b < 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют одинаковые знаки (оба положительные или оба отрицательные).

4) Если частное двух чисел $\frac{a}{b}$ меньше нуля, то, как и в случае с произведением, это означает, что числа имеют разные знаки. Из самого вида дроби следует, что $b \ne 0$. Возможны два случая: либо $a$ положительное, а $b$ отрицательное ($a > 0$ и $b < 0$), либо $a$ отрицательное, а $b$ положительное ($a < 0$ и $b > 0$).
Ответ: Числа $a$ и $b$ имеют противоположные знаки (одно положительное, другое отрицательное).

5) В неравенстве $a^2b > 0$ множитель $a^2$ (квадрат числа) всегда неотрицателен. Если $a = 0$, то $a^2b = 0$, что не удовлетворяет условию строгого неравенства. Следовательно, $a \ne 0$, а значит $a^2$ всегда строго больше нуля ($a^2 > 0$). Так как первый множитель ($a^2$) положителен, то для того, чтобы все произведение было положительным, второй множитель ($b$) также должен быть положительным.
Ответ: Число $a$ может быть любым, кроме нуля ($a \ne 0$), а число $b$ должно быть положительным ($b > 0$).

6) В неравенстве $a^2b < 0$ множитель $a^2$ всегда положителен при $a \ne 0$ (случай $a=0$ не подходит, так как $0 < 0$ - неверно). Поскольку множитель $a^2$ положителен, знак всего произведения определяется знаком множителя $b$. Для того, чтобы произведение было отрицательным, число $b$ должно быть отрицательным.
Ответ: Число $a$ может быть любым, кроме нуля ($a \ne 0$), а число $b$ должно быть отрицательным ($b < 0$).