Номер 27, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

27. Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство $\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2$.

Область допустимых значений переменной $a$ в неравенстве $ \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2 $ — это все действительные числа. Это следует из того, что выражение под корнем в знаменателе, $a^2+1$, всегда строго положительно (поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2+1 \ge 1$). Следовательно, знаменатель $\sqrt{a^2+1}$ всегда определён, положителен и не равен нулю.

Для доказательства неравенства произведем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{a^2+1}$.

Определим, какие значения может принимать новая переменная $t$. Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2+1 \ge 1$. Отсюда следует, что $t = \sqrt{a^2+1} \ge \sqrt{1} = 1$.

Теперь выразим числитель исходной дроби через $t$. Возведём обе части равенства $t = \sqrt{a^2+1}$ в квадрат: $t^2 = a^2+1$. Отсюда получаем $a^2 = t^2-1$. Тогда числитель $a^2+2$ можно записать как $(t^2-1)+2 = t^2+1$.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходное неравенство:

$ \frac{t^2+1}{t} \ge 2 $

Поскольку мы установили, что $t \ge 1$, переменная $t$ всегда положительна. Мы можем умножить обе части неравенства на $t$, при этом знак неравенства не изменится:

$ t^2+1 \ge 2t $

Перенесём все члены неравенства в левую часть:

$ t^2 - 2t + 1 \ge 0 $

Выражение в левой части является полным квадратом разности $(t-1)$:

$ (t-1)^2 \ge 0 $

Это неравенство является верным для любого действительного значения $t$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку для любого действительного $a$ мы получаем действительное значение $t = \sqrt{a^2+1} \ge 1$, для которого неравенство $(t-1)^2 \ge 0$ выполняется, и все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно для всех действительных значений переменной $a$.

Равенство достигается в том случае, когда $(t-1)^2 = 0$, то есть при $t=1$. Найдем соответствующее значение $a$: $\sqrt{a^2+1} = 1 \implies a^2+1 = 1 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно верно для всех действительных значений $a$.