Страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

18. Как изменится – увеличится или уменьшится – правильная дробь $a/b$, $a > 0, b > 0$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Пусть дана правильная дробь $\frac{a}{b}$, где по условию $a > 0$ и $b > 0$. Поскольку дробь правильная, её числитель меньше знаменателя, то есть $a < b$.

Увеличим числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же положительное число, которое обозначим как $x$. Следовательно, $x > 0$. Новая дробь примет вид $\frac{a+x}{b+x}$.

Чтобы выяснить, как изменилась дробь, необходимо сравнить её новое значение со старым. Для этого найдем разность между новой и исходной дробью:

$\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b}$

Для вычисления разности приведем дроби к общему знаменателю $b(b+x)$:

$\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b} = \frac{(a+x)b - a(b+x)}{b(b+x)} = \frac{ab + xb - ab - ax}{b(b+x)} = \frac{xb - ax}{b(b+x)}$

Вынесем общий множитель $x$ в числителе:

$\frac{x(b-a)}{b(b+x)}$

Теперь определим знак этого выражения. Нам известно, что $x > 0$ (поскольку это число, на которое увеличивают), $b > 0$ (по условию), и $b-a > 0$ (так как $a < b$ для правильной дроби).

Числитель полученной дроби, $x(b-a)$, является произведением двух положительных чисел ($x > 0$ и $b-a > 0$), следовательно, числитель положителен. Знаменатель, $b(b+x)$, также является произведением положительных чисел ($b > 0$ и сумма $b+x > 0$), следовательно, знаменатель тоже положителен.

Поскольку и числитель, и знаменатель выражения $\frac{x(b-a)}{b(b+x)}$ положительны, то вся дробь положительна. Таким образом, мы имеем:

$\frac{a+x}{b+x} - \frac{a}{b} > 0$

Из этого неравенства следует, что:

$\frac{a+x}{b+x} > \frac{a}{b}$

Это означает, что новая дробь больше исходной.

Ответ: правильная дробь увеличится.

19. Как изменится – увеличится или уменьшится – неправильная дробь $\frac{a}{b}, a > 0, b > 0$, если её числитель и знаменатель увеличить на одно и то же число?

Пусть дана неправильная дробь $ \frac{a}{b} $. По определению неправильной дроби, её числитель больше или равен знаменателю, то есть $ a \ge b $. По условию задачи $ a > 0 $ и $ b > 0 $.

Увеличим числитель и знаменатель этой дроби на одно и то же положительное число $ c $, где $ c > 0 $. Получим новую дробь $ \frac{a+c}{b+c} $.

Чтобы определить, как изменилась дробь, сравним исходную и новую дроби, найдя их разность:

$ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} $

Приведем дроби к общему знаменателю $ b(b+c) $:

$ \frac{(a+c)b}{b(b+c)} - \frac{a(b+c)}{b(b+c)} = \frac{(a+c)b - a(b+c)}{b(b+c)} $

Раскроем скобки в числителе:

$ \frac{ab + bc - ab - ac}{b(b+c)} = \frac{bc - ac}{b(b+c)} = \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $

Проанализируем знак полученного выражения. Знаменатель $ b(b+c) $ всегда положителен, так как по условию $ b > 0 $ и $ c > 0 $. Следовательно, знак разности определяется знаком числителя $ c(b-a) $. Поскольку $ c > 0 $, знак числителя зависит от знака выражения $ (b-a) $.

Рассмотрим два возможных случая для неправильной дроби ($ a \ge b $):

Случай 1: $ a > b $ (числитель строго больше знаменателя).
В этом случае разность $ b-a $ отрицательна. Следовательно, числитель $ c(b-a) $ также отрицателен. Тогда вся разность $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $ будет отрицательной (частное от деления отрицательного числа на положительное).
Из $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} < 0 $ следует, что $ \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b} $.
Это означает, что новая дробь меньше исходной, то есть дробь уменьшится.

Случай 2: $ a = b $ (числитель равен знаменателю).
В этом случае разность $ b-a = 0 $. Следовательно, числитель $ c(b-a) $ равен нулю. Тогда и вся разность $ \frac{c(b-a)}{b(b+c)} $ равна нулю.
Из $ \frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = 0 $ следует, что $ \frac{a+c}{b+c} = \frac{a}{b} $.
В этом случае дробь не изменится. Исходная дробь равна $ \frac{a}{a} = 1 $, и новая дробь $ \frac{a+c}{a+c} $ также равна 1.

Таким образом, при увеличении числителя и знаменателя неправильной дроби на одно и то же положительное число, дробь уменьшится (если она была больше 1) или не изменится (если она была равна 1).

Ответ: Неправильная дробь уменьшится. В частном случае, когда числитель неправильной дроби равен ее знаменателю (т.е. дробь равна 1), она не изменится.

20. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.

Пусть дано произвольное положительное число $x$. Согласно условию, $x > 0$.

Взаимно обратным к нему будет число $\frac{1}{x}$. Поскольку $x$ положительно, то и $\frac{1}{x}$ также будет положительным числом.

Нам необходимо доказать, что их сумма не меньше чем 2. Запишем это в виде неравенства: $x + \frac{1}{x} \ge 2$

Доказательство.

Для доказательства преобразуем данное неравенство. Перенесем 2 в левую часть: $x + \frac{1}{x} - 2 \ge 0$

Приведем все слагаемые в левой части к общему знаменателю $x$. Так как $x > 0$, это допустимое преобразование. $\frac{x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{2 \cdot x}{x} \ge 0$

$\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \ge 0$

Заметим, что выражение в числителе является формулой полного квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Подставим это в наше неравенство: $\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$

Теперь проанализируем полученное выражение.

Числитель дроби, $(x-1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$.

Знаменатель дроби, $x$, по условию задачи является положительным числом, то есть $x > 0$.

Частное от деления неотрицательного числа (числителя) на положительное число (знаменатель) всегда является неотрицательным. Следовательно, неравенство $\frac{(x-1)^2}{x} \ge 0$ является верным для всех $x > 0$.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $x + \frac{1}{x} \ge 2$ также верно.

Равенство $x + \frac{1}{x} = 2$ достигается только в том случае, когда числитель $\frac{(x-1)^2}{x}$ равен нулю, что возможно только при $(x-1)^2 = 0$, то есть при $x=1$. Если $x=1$, то и $\frac{1}{x}=1$, и их сумма равна $1+1=2$. Во всех остальных случаях ($x > 0$ и $x \neq 1$) сумма будет строго больше 2.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма любых двух взаимно обратных положительных чисел не меньше чем 2.

21. Докажите, что сумма любых двух взаимно обратных отрицательных чисел не больше чем $-2$.

Пусть $x$ — произвольное отрицательное число. По условию, $x < 0$. Число, взаимно обратное к $x$, равно $\frac{1}{x}$. Поскольку $x$ отрицательно, то и $\frac{1}{x}$ также является отрицательным числом.

Требуется доказать, что сумма этих двух чисел не больше чем -2. Запишем это в виде неравенства:

$x + \frac{1}{x} \le -2$

Для доказательства выполним равносильные преобразования этого неравенства. Перенесем все члены в левую часть:

$x + \frac{1}{x} + 2 \le 0$

Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $x$:

$\frac{x \cdot x}{x} + \frac{1}{x} + \frac{2 \cdot x}{x} \le 0$

$\frac{x^2 + 2x + 1}{x} \le 0$

Заметим, что числитель дроби $x^2 + 2x + 1$ представляет собой формулу квадрата суммы, то есть $(x+1)^2$. Подставим это в неравенство:

$\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство.

Выражение в числителе, $(x+1)^2$, является квадратом действительного числа, а квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+1)^2 \ge 0$.

Выражение в знаменателе, $x$, по условию задачи является отрицательным числом, то есть $x < 0$.

Таким образом, мы имеем дробь, у которой числитель неотрицателен $(\ge 0)$, а знаменатель строго отрицателен $(< 0)$. При делении неотрицательного числа на отрицательное результат всегда будет неположительным (меньше или равен нулю). Равенство нулю достигается только в том случае, когда числитель равен нулю, то есть при $x = -1$. Во всех остальных случаях, когда $x$ — отрицательное число, не равное -1, числитель будет строго положительным, а вся дробь — строго отрицательной.

Следовательно, неравенство $\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$ верно для всех отрицательных значений $x$.

Поскольку все наши преобразования были равносильными, мы доказали, что исходное неравенство $x + \frac{1}{x} \le -2$ также верно для любых отрицательных $x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Мы показали, что для любого отрицательного числа $x$ неравенство $x + \frac{1}{x} \le -2$ является верным, так как оно равносильно верному неравенству $\frac{(x+1)^2}{x} \le 0$.

22. Выполняется ли данное неравенство при любых значениях $a$ и $b$:

1) $\frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1$;

2) $\frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1$?

1) Проверим, выполняется ли неравенство $ \frac{a^2 + b^2}{a^2 + 1} > 1 $ при любых значениях $ a $ и $ b $.

Знаменатель дроби $ a^2 + 1 $ всегда строго положителен, так как квадрат любого действительного числа $ a $ неотрицателен ($ a^2 \ge 0 $), и, следовательно, $ a^2 + 1 \ge 1 $. Это позволяет нам умножить обе части неравенства на $ a^2 + 1 $, не меняя знака неравенства.

$ a^2 + b^2 > 1 \cdot (a^2 + 1) $

Раскроем скобки в правой части:

$ a^2 + b^2 > a^2 + 1 $

Вычтем $ a^2 $ из обеих частей неравенства, что является равносильным преобразованием:

$ b^2 > 1 $

Полученное неравенство $ b^2 > 1 $ не является верным для всех действительных чисел $ b $. Например, если выбрать $ b = 1 $ или $ b = 0 $, неравенство не выполняется:

• При $ b = 1 $, получаем $ 1^2 > 1 $, то есть $ 1 > 1 $, что ложно.
• При $ b = 0 $, получаем $ 0^2 > 1 $, то есть $ 0 > 1 $, что также ложно.

Поскольку мы нашли значения $ b $ (например, из отрезка $ [-1, 1] $), при которых неравенство неверно, исходное утверждение не выполняется для любых $ a $ и $ b $.

Ответ: нет, данное неравенство выполняется не при любых значениях $ a $ и $ b $.

2) Проверим, выполняется ли неравенство $ \frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1 $ при любых значениях $ a $ и $ b $.

Аналогично первому пункту, знаменатель $ b^2 + 1 $ всегда строго положителен ($ b^2 + 1 \ge 1 $). Умножим обе части неравенства на этот знаменатель, сохраняя знак неравенства.

$ a^2 - b^2 > -1 \cdot (b^2 + 1) $

Раскроем скобки в правой части:

$ a^2 - b^2 > -b^2 - 1 $

Прибавим $ b^2 $ к обеим частям неравенства. Это равносильное преобразование.

$ a^2 > -1 $

Полученное неравенство $ a^2 > -1 $ является верным для любого действительного числа $ a $. Квадрат любого действительного числа $ a $ всегда является неотрицательным числом, то есть $ a^2 \ge 0 $. Любое неотрицательное число всегда больше любого отрицательного числа, поэтому $ a^2 $ всегда больше $ -1 $.

Так как неравенство $ a^2 > -1 $ верно для любого $ a $, и все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $ \frac{a^2 - b^2}{b^2 + 1} > -1 $ выполняется при любых значениях $ a $ и $ b $.

Ответ: да, данное неравенство выполняется при любых значениях $ a $ и $ b $.

23. Докажите, что при любых значениях переменной верно неравенство:

1) $\frac{a^2}{a^4 + 1} \leq \frac{1}{2};$

2) $\frac{(5a + 1)^2}{5} \geq 4a.$

1) Требуется доказать, что при любом значении переменной $a$ верно неравенство $\frac{a^2}{a^4 + 1} \le \frac{1}{2}$.

Для начала преобразуем неравенство. Знаменатель дроби в левой части, $a^4 + 1$, всегда положителен, так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$, и, следовательно, $a^4 + 1 \ge 1$. Это позволяет нам умножить обе части неравенства на $2(a^4 + 1)$, при этом знак неравенства сохранится.

$2 \cdot a^2 \le 1 \cdot (a^4 + 1)$

$2a^2 \le a^4 + 1$

Перенесём все члены неравенства в одну сторону, чтобы получить сравнение с нулём:

$0 \le a^4 - 2a^2 + 1$

Выражение в правой части является полным квадратом разности $(a^2 - 1)$, так как $a^4 - 2a^2 + 1 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 1 + 1^2 = (a^2 - 1)^2$.

Таким образом, мы приходим к неравенству:

$0 \le (a^2 - 1)^2$

Это неравенство верно для любого действительного значения $a$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Так как все наши преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно при любых значениях переменной $a$.

Ответ: Доказано.

2) Требуется доказать, что при любом значении переменной $a$ верно неравенство $\frac{(5a + 1)^2}{5} \ge 4a$.

Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$(5a + 1)^2 \ge 20a$

Раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(5a)^2 + 2 \cdot (5a) \cdot 1 + 1^2 \ge 20a$

$25a^2 + 10a + 1 \ge 20a$

Перенесём все члены в левую часть неравенства:

$25a^2 + 10a - 20a + 1 \ge 0$

$25a^2 - 10a + 1 \ge 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности $(5a - 1)$, так как $25a^2 - 10a + 1 = (5a)^2 - 2 \cdot 5a \cdot 1 + 1^2 = (5a - 1)^2$.

В результате мы получаем неравенство:

$(5a - 1)^2 \ge 0$

Это неравенство справедливо для любого действительного значения $a$, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Так как все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно при любых значениях переменной $a$.

Ответ: Доказано.

24. Докажите, что если $a < b$, то $a < \frac{a+b}{2} < b$.

Для доказательства утверждения, что если $a < b$, то $a < \frac{a+b}{2} < b$, необходимо доказать два неравенства по отдельности: $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$. В обоих случаях мы будем использовать основное свойство неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же число или умножить обе части на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

1. Докажем, что $a < \frac{a+b}{2}$

Возьмем за основу данное нам неравенство:

$a < b$

Прибавим к обеим его частям число $a$:

$a + a < b + a$

$2a < a + b$

Теперь разделим обе части полученного неравенства на 2. Так как 2 является положительным числом, знак неравенства сохранится:

$\frac{2a}{2} < \frac{a+b}{2}$

$a < \frac{a+b}{2}$

Первая часть утверждения доказана.

2. Докажем, что $\frac{a+b}{2} < b$

Снова начнем с исходного неравенства:

$a < b$

Прибавим к обеим его частям число $b$:

$a + b < b + b$

$a + b < 2b$

Разделим обе части на положительное число 2, сохраняя знак неравенства:

$\frac{a+b}{2} < \frac{2b}{2}$

$\frac{a+b}{2} < b$

Вторая часть утверждения также доказана.

Поскольку мы доказали, что $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$, мы можем объединить эти два неравенства в одно двойное неравенство: $a < \frac{a+b}{2} < b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из исходного условия $a < b$ с помощью равносильных преобразований мы получили два неравенства: $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$, которые вместе доказывают истинность выражения $a < \frac{a+b}{2} < b$.

25. Докажите, что если $a < b < c$, то $a < \frac{a+b+c}{3} < c$.

Для доказательства двойного неравенства $a < \frac{a+b+c}{3} < c$ нам необходимо доказать два неравенства по отдельности: $a < \frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{a+b+c}{3} < c$.

Доказательство неравенства $a < \frac{a+b+c}{3}$

По условию задачи дано, что $a < b < c$. Это означает, что $a$ является наименьшим из трех чисел, следовательно, верны неравенства $a < b$ и $a < c$.
Рассмотрим три верных утверждения:
1. $a = a$
2. $a < b$ (из условия)
3. $a < c$ (так как $a < b$ и $b < c$)
Сложим левые и правые части этих утверждений. Поскольку мы складываем одно точное равенство и два строгих неравенства, итоговое неравенство будет строгим:
$a + a + a < a + b + c$
$3a < a + b + c$
Теперь разделим обе части полученного неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не изменится:
$\frac{3a}{3} < \frac{a+b+c}{3}$
$a < \frac{a+b+c}{3}$
Таким образом, первая часть двойного неравенства доказана.

Доказательство неравенства $\frac{a+b+c}{3} < c$

Аналогично, из условия $a < b < c$ следует, что $c$ является наибольшим из трех чисел. Следовательно, верны неравенства $a < c$ и $b < c$.
Рассмотрим три верных утверждения:
1. $a < c$ (так как $a < b$ и $b < c$)
2. $b < c$ (из условия)
3. $c = c$
Сложим левые и правые части этих утверждений:
$a + b + c < c + c + c$
$a + b + c < 3c$
Разделим обе части этого неравенства на 3. Знак неравенства сохранится:
$\frac{a+b+c}{3} < \frac{3c}{3}$
$\frac{a+b+c}{3} < c$
Таким образом, вторая часть двойного неравенства доказана.

Поскольку мы доказали обе части двойного неравенства ($a < \frac{a+b+c}{3}$ и $\frac{a+b+c}{3} < c$), мы можем утверждать, что исходное утверждение верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение, что если $a < b < c$, то $a < \frac{a+b+c}{3} < c$, доказано.

26. Выполняется ли неравенство $\frac{a^2+4}{2} \geq \sqrt{a^2+3}$ при всех значениях $a$?

Для того чтобы определить, выполняется ли данное неравенство при всех значениях $a$, мы проведем его анализ и равносильные преобразования.

Исходное неравенство:

$$ \frac{a^2 + 4}{2} \ge \sqrt{a^2 + 3} $$

Заметим, что выражение $a^2$ всегда неотрицательно, то есть $a^2 \ge 0$ для любого действительного числа $a$.
Следовательно, подкоренное выражение $a^2 + 3$ всегда положительно ($a^2 + 3 \ge 3$), и его корень $\sqrt{a^2 + 3}$ определен для всех $a \in \mathbb{R}$.
Левая часть неравенства $\frac{a^2 + 4}{2}$ также всегда положительна, так как $a^2 + 4 \ge 4$, а значит $\frac{a^2 + 4}{2} \ge 2$.
Поскольку обе части неравенства являются неотрицательными, мы можем возвести их в квадрат, при этом знак неравенства сохранится:

$$ \left(\frac{a^2 + 4}{2}\right)^2 \ge \left(\sqrt{a^2 + 3}\right)^2 $$

Выполним возведение в степень:

$$ \frac{(a^2 + 4)^2}{4} \ge a^2 + 3 $$

Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$$ (a^2 + 4)^2 \ge 4(a^2 + 3) $$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$$ (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 \ge 4a^2 + 12 $$

$$ a^4 + 8a^2 + 16 \ge 4a^2 + 12 $$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$$ a^4 + 8a^2 - 4a^2 + 16 - 12 \ge 0 $$

$$ a^4 + 4a^2 + 4 \ge 0 $$

Заметим, что полученное выражение в левой части является полным квадратом. Его можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$$ (a^2 + 2)^2 \ge 0 $$

Это неравенство является верным для любого действительного значения $a$. Выражение $a^2$ всегда больше или равно нулю, поэтому $a^2+2$ всегда больше или равно 2. Квадрат любого ненулевого действительного числа положителен, поэтому $(a^2 + 2)^2$ всегда будет положительным числом, и, следовательно, всегда будет больше или равно нулю.
Так как мы пришли к верному неравенству с помощью равносильных преобразований, то и исходное неравенство выполняется при всех значениях $a$.

Альтернативное решение с заменой переменной:

Сделаем замену $t = \sqrt{a^2+3}$. Поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2+3 \ge 3$, и значит $t \ge \sqrt{3}$.
Из замены следует, что $t^2 = a^2+3$, откуда $a^2 = t^2-3$.
Подставим это в исходное неравенство:

$$ \frac{(t^2-3)+4}{2} \ge t $$

$$ \frac{t^2+1}{2} \ge t $$

Умножим обе части на 2:

$$ t^2+1 \ge 2t $$

Перенесем $2t$ в левую часть:

$$ t^2 - 2t + 1 \ge 0 $$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$$ (t-1)^2 \ge 0 $$

Это неравенство верно для любого значения $t$. Так как наша замена $t = \sqrt{a^2+3}$ корректна для любого действительного $a$, то и исходное неравенство выполняется для всех $a$.

Ответ: Да, неравенство выполняется при всех значениях $a$.

27. Докажите, что при всех значениях переменной верно неравенство $\frac{a^2 + 2}{\sqrt{a^2 + 1}} \ge 2$.

Область допустимых значений переменной $a$ в неравенстве $ \frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}} \ge 2 $ — это все действительные числа. Это следует из того, что выражение под корнем в знаменателе, $a^2+1$, всегда строго положительно (поскольку $a^2 \ge 0$, то $a^2+1 \ge 1$). Следовательно, знаменатель $\sqrt{a^2+1}$ всегда определён, положителен и не равен нулю.

Для доказательства неравенства произведем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{a^2+1}$.

Определим, какие значения может принимать новая переменная $t$. Так как $a^2 \ge 0$, то $a^2+1 \ge 1$. Отсюда следует, что $t = \sqrt{a^2+1} \ge \sqrt{1} = 1$.

Теперь выразим числитель исходной дроби через $t$. Возведём обе части равенства $t = \sqrt{a^2+1}$ в квадрат: $t^2 = a^2+1$. Отсюда получаем $a^2 = t^2-1$. Тогда числитель $a^2+2$ можно записать как $(t^2-1)+2 = t^2+1$.

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходное неравенство:

$ \frac{t^2+1}{t} \ge 2 $

Поскольку мы установили, что $t \ge 1$, переменная $t$ всегда положительна. Мы можем умножить обе части неравенства на $t$, при этом знак неравенства не изменится:

$ t^2+1 \ge 2t $

Перенесём все члены неравенства в левую часть:

$ t^2 - 2t + 1 \ge 0 $

Выражение в левой части является полным квадратом разности $(t-1)$:

$ (t-1)^2 \ge 0 $

Это неравенство является верным для любого действительного значения $t$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Поскольку для любого действительного $a$ мы получаем действительное значение $t = \sqrt{a^2+1} \ge 1$, для которого неравенство $(t-1)^2 \ge 0$ выполняется, и все выполненные преобразования были равносильными, то и исходное неравенство верно для всех действительных значений переменной $a$.

Равенство достигается в том случае, когда $(t-1)^2 = 0$, то есть при $t=1$. Найдем соответствующее значение $a$: $\sqrt{a^2+1} = 1 \implies a^2+1 = 1 \implies a^2 = 0 \implies a = 0$.

Ответ: Неравенство доказано. Оно верно для всех действительных значений $a$.

28. Докажите неравенство:

1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0$;

2) $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0$;

3) $2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \ge 0$;

4) $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)$;

5) $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab$.

1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0;$
Для доказательства данного неравенства сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $a$ и $b$, и выделим полные квадраты.
Исходное выражение: $a^2 + 6a + b^2 - 4b + 13 \ge 0$
Группируем: $(a^2 + 6a) + (b^2 - 4b) + 13 \ge 0$
Дополним каждую группу до полного квадрата. Формула полного квадрата суммы/разности: $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$.
Для группы с $a$: $a^2 + 6a = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2=9$.
Для группы с $b$: $b^2 - 4b = b^2 - 2 \cdot b \cdot 2$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $2^2=4$.
Представим число $13$ как сумму $9+4$.
$(a^2 + 6a + 9) + (b^2 - 4b + 4) \ge 0$
Теперь свернем выражения в скобках по формулам полного квадрата:
$(a+3)^2 + (b-2)^2 \ge 0$
Выражение $(a+3)^2$ всегда больше или равно нулю, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен. Аналогично, $(b-2)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Таким образом, неравенство верно для любых значений $a$ и $b$.
Ответ: Неравенство доказано.

2) $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0;$
Как и в предыдущем задании, выделим полные квадраты.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2 - 2x) + (y^2 + 10y) + 28 > 0$
Дополним до полных квадратов:
Для $x$: $x^2 - 2x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1$. Нужно добавить $1^2=1$.
Для $y$: $y^2 + 10y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 5$. Нужно добавить $5^2=25$.
Представим $28$ как $1+25+2$.
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 10y + 25) + 2 > 0$
Свернем полные квадраты:
$(x-1)^2 + (y+5)^2 + 2 > 0$
Выражения $(x-1)^2$ и $(y+5)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому их значения всегда неотрицательны: $(x-1)^2 \ge 0$ и $(y+5)^2 \ge 0$.
Следовательно, их сумма также неотрицательна: $(x-1)^2 + (y+5)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному числу положительное число $2$, мы получаем сумму, которая всегда будет больше или равна $2$.
$(x-1)^2 + (y+5)^2 + 2 \ge 2$
Поскольку $2 > 0$, исходное неравенство всегда верно.
Ответ: Неравенство доказано.

3) $2m^2 - 6mn + 9n^2 - 6m + 9 \ge 0;$
Для доказательства этого неравенства также воспользуемся методом выделения полного квадрата. Представим $2m^2$ как $m^2+m^2$ и перегруппируем слагаемые.
$(m^2 - 6mn + 9n^2) + (m^2 - 6m + 9) \ge 0$
Рассмотрим каждое выражение в скобках отдельно.
Первое выражение: $m^2 - 6mn + 9n^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot (3n) + (3n)^2 = (m-3n)^2$. Но это неверно, т.к. в исходном выражении $-6mn$. Давайте попробуем сгруппировать по-другому.
Давайте сгруппируем так: $(9n^2 - 6mn + m^2) + (m^2 - 6m + 9) \ge 0$. Это верная перегруппировка исходного выражения, если представить $2m^2 = m^2+m^2$.
Первое выражение в скобках: $9n^2 - 6mn + m^2 = (3n)^2 - 2 \cdot (3n) \cdot m + m^2 = (3n-m)^2$.
Второе выражение в скобках: $m^2 - 6m + 9 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 3 + 3^2 = (m-3)^2$.
Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:
$(3n-m)^2 + (m-3)^2 \ge 0$
Левая часть неравенства представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(3n-m)^2 \ge 0$ и $(m-3)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4) $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c);$
Сначала раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые в левую часть.
$a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4a + 4b + 4c$
$a^2 - 4a + b^2 - 4b + c^2 - 4c + 12 \ge 0$
Сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты.
$(a^2 - 4a) + (b^2 - 4b) + (c^2 - 4c) + 12 \ge 0$
Для каждой группы нужно добавить $2^2=4$ для получения полного квадрата. Заметим, что $12 = 4+4+4$.
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4) + (c^2 - 4c + 4) \ge 0$
Свернем полные квадраты:
$(a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 \ge 0$
Левая часть неравенства является суммой трех квадратов. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, каждое из слагаемых $(a-2)^2$, $(b-2)^2$ и $(c-2)^2$ больше или равно нулю. Их сумма также всегда будет неотрицательной.
Ответ: Неравенство доказано.

5) $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab.$
Перенесем слагаемое $4ab$ в левую часть неравенства.
$a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 - 4ab \ge 0$
Перегруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить сумму полных квадратов. Разделим $-4ab$ на $-2ab$ и $-2ab$.
$(a^2b^2 - 2ab + 1) + (a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$
Рассмотрим каждое выражение в скобках.
Первое выражение: $a^2b^2 - 2ab + 1 = (ab)^2 - 2 \cdot ab \cdot 1 + 1^2 = (ab-1)^2$.
Второе выражение: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему:
$(ab-1)^2 + (a-b)^2 \ge 0$
Левая часть этого неравенства является суммой двух квадратов. Как известно, квадрат любого действительного числа — величина неотрицательная. Значит, $(ab-1)^2 \ge 0$ и $(a-b)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна, что и доказывает исходное неравенство.
Ответ: Неравенство доказано.

29. Докажите неравенство:

1) $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0;$

2) $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y;$

3) $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0.$

1) Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0$ сгруппируем слагаемые с переменными $a$ и $b$ и выделим полные квадраты, используя формулы квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сгруппируем слагаемые в левой части неравенства:
$(a^2 - 16a) + (b^2 + 14b) + 114 > 0$.

Выделим полный квадрат для выражения с переменной $a$:
$a^2 - 16a = a^2 - 2 \cdot a \cdot 8$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $8^2=64$.
$a^2 - 16a + 64 = (a - 8)^2$.

Выделим полный квадрат для выражения с переменной $b$:
$b^2 + 14b = b^2 + 2 \cdot b \cdot 7$. Для полного квадрата не хватает слагаемого $7^2=49$.
$b^2 + 14b + 49 = (b + 7)^2$.

Теперь преобразуем левую часть исходного неравенства, представив свободный член $114$ как $64 + 49 + 1$:
$(a^2 - 16a + 64) + (b^2 + 14b + 49) + 1 > 0$.
$(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(a - 8)^2 \ge 0$ и $(b + 7)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(a - 8)^2 + (b + 7)^2 \ge 0$.
Прибавляя к неотрицательному выражению 1, мы получаем строго положительное значение:
$(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 \ge 1 > 0$.
Следовательно, неравенство выполняется для любых значений $a$ и $b$.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y$ перенесем все слагаемые в левую часть и выделим полные квадраты.

Перенесем слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:
$x^2 + y^2 + 10 - 6x + 2y \ge 0$.

Сгруппируем слагаемые:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 10 \ge 0$.

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:
$x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3$. Добавим $3^2=9$.
$y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Добавим $1^2=1$.

Представим $10$ как $9+1$ и преобразуем выражение:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 2y + 1) \ge 0$.
$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \ge 0$.

Выражение $(x - 3)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом числа: $(x - 3)^2 \ge 0$.
Выражение $(y + 1)^2$ также всегда неотрицательно: $(y + 1)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных выражений всегда неотрицательна. Таким образом, неравенство верно для любых значений $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Для доказательства неравенства $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0$ сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты.

Наличие слагаемого $4cd$ подсказывает, что один из полных квадратов будет содержать обе переменные. Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.
Сгруппируем слагаемые $c^2$, $4cd$ и часть от $5d^2$.
$c^2 + 4cd = c^2 + 2 \cdot c \cdot (2d)$. Это первые два слагаемых из выражения $(c + 2d)^2 = c^2 + 4cd + 4d^2$.

Представим $5d^2$ как $4d^2 + d^2$ и перегруппируем слагаемые в левой части неравенства:
$(c^2 + 4cd + 4d^2) + (d^2 - 4d + 4) \ge 0$.

Теперь свернем каждую группу слагаемых в полный квадрат:
Первая группа: $c^2 + 4cd + 4d^2 = (c + 2d)^2$.
Вторая группа: $d^2 - 4d + 4 = d^2 - 2 \cdot d \cdot 2 + 2^2 = (d - 2)^2$.

Подставим полученные выражения в неравенство:
$(c + 2d)^2 + (d - 2)^2 \ge 0$.

Каждое слагаемое в левой части является квадратом действительного числа, а значит, оно неотрицательно: $(c + 2d)^2 \ge 0$ и $(d - 2)^2 \ge 0$.
Сумма двух неотрицательных чисел также всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство верно для любых значений $c$ и $d$.

Ответ: Неравенство доказано.