Страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

54. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) обе части верного неравенства $a > 2$ умножим на $a$;

2) обе части верного неравенства $b < -1$ умножим на $b$;

3) обе части верного неравенства $m < -3$ умножим на $-m$;

4) обе части верного неравенства $c > -4$ умножим на $c$.

1)

Дано верное неравенство $a > 2$. Необходимо умножить обе его части на $a$. Из условия $a > 2$ следует, что $a$ является положительным числом, то есть $a > 0$. При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Умножаем левую часть на $a$: $a \cdot a = a^2$. Умножаем правую часть на $a$: $2 \cdot a = 2a$. Так как знак неравенства $ > $ сохраняется, получаем: $a^2 > 2a$.

Ответ: $a^2 > 2a$.

2)

Дано верное неравенство $b < -1$. Необходимо умножить обе его части на $b$. Из условия $b < -1$ следует, что $b$ является отрицательным числом, то есть $b < 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. В данном случае знак $ < $ меняется на $ > $. Умножаем левую часть на $b$: $b \cdot b = b^2$. Умножаем правую часть на $b$: $-1 \cdot b = -b$. Меняя знак неравенства, получаем: $b^2 > -b$.

Ответ: $b^2 > -b$.

3)

Дано верное неравенство $m < -3$. Необходимо умножить обе его части на $-m$. Сначала определим знак множителя $-m$. Из условия $m < -3$ следует, что $m$ — число отрицательное ($m < 0$). Если $m$ — отрицательное число, то $-m$ — положительное число ($-m > 0$). При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Умножаем левую часть на $-m$: $m \cdot (-m) = -m^2$. Умножаем правую часть на $-m$: $-3 \cdot (-m) = 3m$. Так как знак неравенства $ < $ сохраняется, получаем: $-m^2 < 3m$.

Ответ: $-m^2 < 3m$.

4)

Дано верное неравенство $c > -4$. Необходимо умножить обе его части на $c$. В данном случае знак числа $c$ не определен однозначно, так как $c$ может быть как положительным, так и отрицательным, или равным нулю. Поэтому необходимо рассмотреть все три случая.
1. Случай, когда $c > 0$.
При умножении на положительное число $c$ знак неравенства $ > $ сохранится. $c \cdot c > -4 \cdot c$
$c^2 > -4c$
2. Случай, когда $c < 0$.
С учетом исходного условия $c > -4$, этот случай соответствует интервалу $-4 < c < 0$. При умножении на отрицательное число $c$ знак неравенства $ > $ изменится на $ < $. $c \cdot c < -4 \cdot c$
$c^2 < -4c$
3. Случай, когда $c = 0$.
Исходное неравенство $0 > -4$ является верным. Умножая обе части на $c = 0$, получаем $0$ в левой части и $0$ в правой. В результате получается верное равенство $0 = 0$, а не неравенство.

Ответ: если $c > 0$, то $c^2 > -4c$; если $-4 < c < 0$, то $c^2 < -4c$; если $c = 0$, то получается верное равенство $0 = 0$.

55. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) обе части верного неравенства $a < -a^2$ разделим на $a$;

2) обе части верного неравенства $a > 2a^2$ разделим на $a$;

3) обе части верного неравенства $a^3 > a^2$ разделим на $-a$.

1) Дано верное неравенство $a < -a^2$. Чтобы разделить обе части этого неравенства на $a$, необходимо сначала определить знак $a$.

Выражение $-a^2$ является неположительным (т.е. $-a^2 \le 0$) для любого действительного значения $a$. Поскольку по условию $a < -a^2$, это означает, что $a$ строго меньше неположительного числа. Следовательно, $a$ — отрицательное число, то есть $a < 0$. (Также заметим, что $a \neq 0$, иначе получилось бы неверное неравенство $0 < 0$).

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «<» на «>»).

Разделим обе части неравенства $a < -a^2$ на $a$:

$\frac{a}{a} > \frac{-a^2}{a}$

$1 > -a$

Ответ: $1 > -a$

2) Дано верное неравенство $a > 2a^2$. Чтобы разделить обе части этого неравенства на $a$, определим знак $a$.

Выражение $2a^2$ является неотрицательным (т.е. $2a^2 \ge 0$) для любого действительного значения $a$. Поскольку по условию $a > 2a^2$, это означает, что $a$ строго больше неотрицательного числа. Следовательно, $a$ — положительное число, то есть $a > 0$. (Также заметим, что $a \neq 0$, иначе получилось бы неверное неравенство $0 > 0$).

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется.

Разделим обе части неравенства $a > 2a^2$ на $a$:

$\frac{a}{a} > \frac{2a^2}{a}$

$1 > 2a$

Ответ: $1 > 2a$

3) Дано верное неравенство $a^3 > a^2$. Нужно разделить обе части этого неравенства на $-a$. Для этого сначала определим знак $a$, а затем знак выражения $-a$.

Преобразуем исходное неравенство:

$a^3 - a^2 > 0$

Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^2(a-1) > 0$

Поскольку неравенство верное, $a \neq 0$. Для любого $a \neq 0$ множитель $a^2$ всегда положителен ($a^2 > 0$). Чтобы произведение $a^2(a-1)$ было положительным, второй множитель $(a-1)$ также должен быть положительным.

$a-1 > 0$

$a > 1$

Итак, мы установили, что $a$ — положительное число, большее 1. Следовательно, выражение $-a$, на которое мы делим, является отрицательным ($-a < -1$).

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «>» на «<»).

Разделим обе части неравенства $a^3 > a^2$ на $-a$:

$\frac{a^3}{-a} < \frac{a^2}{-a}$

$-a^2 < -a$

Ответ: $-a^2 < -a$

56. Известно, что $a^2 + b^2 = 18$ и $(a + b)^2 = 20$. Чему равно значение выражения $ab$?

Для нахождения значения выражения $ab$ воспользуемся известной формулой сокращенного умножения — квадратом суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Из этой формулы видно, что выражение $(a+b)^2$ можно представить как сумму $(a^2+b^2)$ и $2ab$.
$(a + b)^2 = (a^2 + b^2) + 2ab$
По условию задачи нам известны значения $(a + b)^2$ и $(a^2 + b^2)$:

$(a + b)^2 = 20$
$a^2 + b^2 = 18$

Подставим эти значения в формулу:

$20 = 18 + 2ab$

Теперь решим полученное уравнение относительно $ab$. Для этого сначала найдем $2ab$, вычтя 18 из обеих частей уравнения:
$2ab = 20 - 18$
$2ab = 2$

Чтобы найти значение $ab$, разделим обе части уравнения на 2:
$ab = \frac{2}{2}$
$ab = 1$
Ответ: 1

57. У Дмитрия в 2 раза больше марок, чем у Петра, а у Петра в 2 раза больше марок, чем у Михаила. Какому из данных чисел может быть равным количество марок, имеющихся у Дмитрия?

1) 18;

2) 22;

3) 24;

4) 30.

Пусть $М$ — это количество марок у Михаила.

Согласно условию, у Петра в 2 раза больше марок, чем у Михаила. Следовательно, количество марок у Петра равно $П = 2 \cdot М$.

Также по условию, у Дмитрия в 2 раза больше марок, чем у Петра. Следовательно, количество марок у Дмитрия равно $Д = 2 \cdot П$.

Чтобы найти связь между количеством марок у Дмитрия и у Михаила, подставим выражение для $П$ в формулу для $Д$:
$Д = 2 \cdot (2 \cdot М) = 4 \cdot М$.

Из этой формулы видно, что количество марок у Дмитрия ($Д$) должно быть кратно 4, так как количество марок у Михаила ($М$) — это целое число.

Теперь проверим, какое из предложенных чисел делится на 4 нацело.

1) 18
Проверим деление на 4: $18 \div 4 = 4.5$. Результат не является целым числом, значит, этот вариант не подходит.

2) 22
Проверим деление на 4: $22 \div 4 = 5.5$. Результат не является целым числом, значит, этот вариант не подходит.

3) 24
Проверим деление на 4: $24 \div 4 = 6$. Результат является целым числом. Этот вариант подходит. Если у Дмитрия 24 марки, то у Михаила было бы 6 марок, а у Петра — $2 \cdot 6 = 12$ марок. Условия задачи выполняются.

4) 30
Проверим деление на 4: $30 \div 4 = 7.5$. Результат не является целым числом, значит, этот вариант не подходит.

Единственное число из предложенных, которое может быть количеством марок у Дмитрия, — это 24.
Ответ: 24.

58. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a+b}$;

2) $\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9} - \frac{a}{a+3}$;

3) $\frac{c+1}{3c} : \frac{c^2 - 1}{6c^2}$;

4) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2} : (m+n).$

1) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $2a$ за скобки:

$2a^2 + 2ab = 2a(a + b)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b}{a + b}$

Общим знаменателем является $2a(a + b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $2a$:

$\frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b \cdot 2a}{(a + b) \cdot 2a} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)}$

В числителе мы видим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

$\frac{(a+b)^2}{2a(a + b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{a+b}{2a}$

Ответ: $\frac{a+b}{2a}$

2) $\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9} - \frac{a}{a + 3}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

$\frac{a^2 + 9}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{a}{a + 3}$

Общий знаменатель — $(a - 3)(a + 3)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a - 3)$.

$\frac{a^2 + 9}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{a(a - 3)}{(a + 3)(a - 3)} = \frac{a^2 + 9 - a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$a^2 + 9 - a^2 + 3a = 3a + 9$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a+3)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{3(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:

$\frac{3}{a - 3}$

Ответ: $\frac{3}{a - 3}$

3) $\frac{c + 1}{3c} : \frac{c^2 - 1}{6c^2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{6c^2}{c^2 - 1}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1)$.

$\frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{6c^2}{(c - 1)(c + 1)}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(c+1)$. Также сокращаем $6c^2$ и $3c$ (на $3c$).

$\frac{\cancel{(c + 1)}}{\cancel{3c}} \cdot \frac{\cancel{6c^2}^{2c}}{(c - 1)\cancel{(c + 1)}} = \frac{2c}{c - 1}$

Ответ: $\frac{2c}{c-1}$

4) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2} : (m + n)$

Представим выражение $(m+n)$ в виде дроби $\frac{m+n}{1}$. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему.

$\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2} \cdot \frac{1}{m + n}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разность квадратов.

$m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Подставим полученные разложения в выражение:

$\frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)} \cdot \frac{1}{m + n}$

Объединим в одну дробь и перемножим множители в знаменателе:

$\frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)(m + n)} = \frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(m+n)^2$:

$\frac{1}{m - n}$

Ответ: $\frac{1}{m - n}$

59. Моторная лодка за одно и то же время может проплыть 48 км по течению реки или 36 км против течения. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения составляет $2 \text{ км/ч}$?

Пусть собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.Скорость течения реки по условию составляет 2 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 2)$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (x - 2)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое лодка затратила на путь в 48 км по течению, составляет:$t_1 = \frac{48}{x + 2}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь в 36 км против течения, составляет:$t_2 = \frac{36}{x - 2}$ часов.

Согласно условию задачи, это время одинаково, то есть $t_1 = t_2$. На основании этого составим и решим уравнение:

$\frac{48}{x + 2} = \frac{36}{x - 2}$

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) для решения:

$48 \cdot (x - 2) = 36 \cdot (x + 2)$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 12 (наибольший общий делитель чисел 48 и 36):

$4 \cdot (x - 2) = 3 \cdot (x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x - 8 = 3x + 6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$4x - 3x = 6 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 14$

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.Проверим условие: время по течению $48 / (14 + 2) = 48 / 16 = 3$ часа. Время против течения $36 / (14 - 2) = 36 / 12 = 3$ часа. Время совпадает, значит, решение верное.

Ответ: 14 км/ч.