Номер 58, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

58. Упростите выражение:

1) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a+b}$;

2) $\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9} - \frac{a}{a+3}$;

3) $\frac{c+1}{3c} : \frac{c^2 - 1}{6c^2}$;

4) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2} : (m+n).$

1) $\frac{a^2 + b^2}{2a^2 + 2ab} + \frac{b}{a + b}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $2a$ за скобки:

$2a^2 + 2ab = 2a(a + b)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b}{a + b}$

Общим знаменателем является $2a(a + b)$. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на дополнительный множитель $2a$:

$\frac{a^2 + b^2}{2a(a + b)} + \frac{b \cdot 2a}{(a + b) \cdot 2a} = \frac{a^2 + b^2 + 2ab}{2a(a + b)}$

В числителе мы видим формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

$\frac{(a+b)^2}{2a(a + b)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$:

$\frac{a+b}{2a}$

Ответ: $\frac{a+b}{2a}$

2) $\frac{a^2 + 9}{a^2 - 9} - \frac{a}{a + 3}$

Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Разложим знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$.

$\frac{a^2 + 9}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{a}{a + 3}$

Общий знаменатель — $(a - 3)(a + 3)$. Дополнительный множитель для второй дроби — $(a - 3)$.

$\frac{a^2 + 9}{(a - 3)(a + 3)} - \frac{a(a - 3)}{(a + 3)(a - 3)} = \frac{a^2 + 9 - a(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$a^2 + 9 - a^2 + 3a = 3a + 9$

Вынесем общий множитель 3 за скобки: $3(a+3)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь:

$\frac{3(a + 3)}{(a - 3)(a + 3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+3)$:

$\frac{3}{a - 3}$

Ответ: $\frac{3}{a - 3}$

3) $\frac{c + 1}{3c} : \frac{c^2 - 1}{6c^2}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$\frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{6c^2}{c^2 - 1}$

Разложим знаменатель второй дроби по формуле разности квадратов: $c^2 - 1 = (c - 1)(c + 1)$.

$\frac{c + 1}{3c} \cdot \frac{6c^2}{(c - 1)(c + 1)}$

Теперь можно сократить общие множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(c+1)$. Также сокращаем $6c^2$ и $3c$ (на $3c$).

$\frac{\cancel{(c + 1)}}{\cancel{3c}} \cdot \frac{\cancel{6c^2}^{2c}}{(c - 1)\cancel{(c + 1)}} = \frac{2c}{c - 1}$

Ответ: $\frac{2c}{c-1}$

4) $\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2} : (m + n)$

Представим выражение $(m+n)$ в виде дроби $\frac{m+n}{1}$. Деление на выражение равносильно умножению на обратное ему.

$\frac{m^2 + 2mn + n^2}{m^2 - n^2} \cdot \frac{1}{m + n}$

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и разность квадратов.

$m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$

$m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$

Подставим полученные разложения в выражение:

$\frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)} \cdot \frac{1}{m + n}$

Объединим в одну дробь и перемножим множители в знаменателе:

$\frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)(m + n)} = \frac{(m + n)^2}{(m - n)(m + n)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(m+n)^2$:

$\frac{1}{m - n}$

Ответ: $\frac{1}{m - n}$