Номер 3, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Сформулируйте теорему о почленном умножении неравенств.

Теорема о почленном умножении неравенств формулируется следующим образом: если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых являются положительными числами, то получится верное неравенство того же знака.

В математической записи это выглядит так: если даны положительные числа $a, b, c, d$ и для них выполняются неравенства $a < b$ и $c < d$, то будет верным и неравенство $ac < bd$.
Теорема также справедлива и для нестрогих неравенств: если $a \le b$ и $c \le d$ (при $a, b, c, d > 0$), то $ac \le bd$.

Доказательство теоремы:
Пусть даны два верных неравенства $a < b$ и $c < d$, где все числа $a, b, c, d$ являются положительными.

1. Умножим обе части первого неравенства $a < b$ на положительное число $c$. Согласно свойствам числовых неравенств, при умножении на положительное число знак неравенства сохраняется. Получаем: $ac < bc$.
2. Теперь умножим обе части второго неравенства $c < d$ на положительное число $b$. Так как $b > 0$, знак неравенства также не изменится. Получаем: $bc < bd$.
3. Мы получили два верных неравенства: $ac < bc$ и $bc < bd$. По свойству транзитивности неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем заключить, что $ac < bd$.

Таким образом, теорема доказана.

Пример:
Рассмотрим два верных неравенства: $3 < 8$ и $5 < 10$. Все части неравенств — положительные числа.
Перемножим их левые и правые части почленно: $3 \cdot 5 < 8 \cdot 10$.
Выполнив вычисления, получаем верное неравенство: $15 < 80$.

Важное замечание:
Условие, что все части неравенств должны быть положительными, является обязательным. Если это условие не выполняется, то результат почленного умножения может оказаться неверным. Например, рассмотрим два верных неравенства: $-5 < 2$ и $-4 < 1$. Если мы их перемножим почленно, то получим: $(-5) \cdot (-4)$ и $2 \cdot 1$. В результате имеем $20$ и $2$. Неравенство $20 < 2$ является ложным. Это демонстрирует, почему теорема применима только для положительных чисел.

Ответ: Если $a < b$ и $c < d$, где $a, b, c, d$ — положительные числа, то при почленном умножении этих неравенств получится верное неравенство того же знака: $ac < bd$.