Номер 4, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Сформулируйте следствие из теоремы о почленном умножении неравенств.

Следствие из теоремы о почленном умножении неравенств касается возведения обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень.

Формулировка следствия

Если обе части верного неравенства являются положительными числами, то при возведении обеих его частей в одну и ту же натуральную степень получится верное неравенство того же знака.

В виде формулы это записывается следующим образом:

Если даны числа $a$ и $b$ такие, что $a > 0$, $b > 0$ и $a < b$, то для любого натурального числа $n$ ($n \in \mathbb{N}$) будет справедливо неравенство:

$a^n < b^n$

Обоснование

Данное следствие напрямую вытекает из основной теоремы о почленном умножении неравенств. Сама теорема гласит, что если почленно перемножить несколько верных неравенств одного знака, у которых левые и правые части положительны, то в результате получится верное неравенство того же знака.

Возведение в степень $n$ — это частный случай такого многократного умножения. Чтобы доказать следствие, достаточно рассмотреть неравенство $a < b$ (где $a, b > 0$) как систему из $n$ одинаковых неравенств:

$ \begin{cases} a < b \\ a < b \\ \dots \\ a < b \end{cases} $ ($n$ раз)

Поскольку все части этих неравенств ($a$ и $b$) по условию положительны, мы можем применить теорему и почленно их перемножить. Умножение $n$ левых частей даст $a^n$, а умножение $n$ правых частей даст $b^n$.

$\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}} < \underbrace{b \cdot b \cdot \dots \cdot b}_{n \text{ множителей}}$

Таким образом, мы получаем искомое неравенство $a^n < b^n$. Аналогичное рассуждение справедливо и для неравенств со знаками $>$, $\ge$ и $\le$.

Ответ: Следствие из теоремы о почленном умножении неравенств: если обе части верного неравенства ($a < b$) являются положительными числами ($a>0, b>0$), то при возведении их в любую натуральную степень $n$ получится верное неравенство того же знака ($a^n < b^n$).