Номер 1, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Сформулируйте теорему о почленном сложении неравенств.

1. Теорема о почленном сложении неравенств формулируется следующим образом:

Если даны два или более верных числовых неравенства одинакового знака, то, сложив почленно их левые и правые части, мы получим верное неравенство того же знака.

В виде формул это можно записать так:

Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
Если $a < b$ и $c < d$, то $a + c < b + d$.

Это свойство распространяется на любое количество неравенств.

Доказательство (для двух неравенств со знаком ">"):

Пусть нам даны два верных неравенства $a > b$ и $c > d$.
Из определения неравенства $a > b$ следует, что разность $a - b$ является положительным числом, то есть $a - b > 0$.
Аналогично, из неравенства $c > d$ следует, что разность $c - d$ также является положительным числом: $c - d > 0$.
Сумма двух положительных чисел всегда есть число положительное, поэтому мы можем записать: $(a - b) + (c - d) > 0$.
Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: $a - b + c - d > 0$
$(a + c) - (b + d) > 0$
Согласно определению знака "больше", последнее неравенство означает, что $a + c > b + d$, что и требовалось доказать.

Пример:

Даны верные неравенства $5 > 2$ и $10 > 3$.
Сложим их почленно: $5 + 10 > 2 + 3$.
Получим верное неравенство $15 > 5$.

Важно подчеркнуть, что теорема справедлива только для неравенств одного знака. Почленное сложение неравенств разных знаков (например, $a > b$ и $c < d$) не приводит к предсказуемому результату.

Ответ: Если $a, b, c, d$ — любые числа, и верны неравенства $a > b$ и $c > d$, то верно и неравенство $a + c > b + d$. Аналогично, если верны неравенства $a < b$ и $c < d$, то верно и неравенство $a + c < b + d$.