Номер 59, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

59. Моторная лодка за одно и то же время может проплыть 48 км по течению реки или 36 км против течения. Какова собственная скорость лодки, если скорость течения составляет $2 \text{ км/ч}$?

Пусть собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.Скорость течения реки по условию составляет 2 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 2)$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна разности ее собственной скорости и скорости течения: $v_{против} = (x - 2)$ км/ч.

Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое лодка затратила на путь в 48 км по течению, составляет:$t_1 = \frac{48}{x + 2}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь в 36 км против течения, составляет:$t_2 = \frac{36}{x - 2}$ часов.

Согласно условию задачи, это время одинаково, то есть $t_1 = t_2$. На основании этого составим и решим уравнение:

$\frac{48}{x + 2} = \frac{36}{x - 2}$

Это пропорция. Используем основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) для решения:

$48 \cdot (x - 2) = 36 \cdot (x + 2)$

Для упрощения вычислений разделим обе части уравнения на 12 (наибольший общий делитель чисел 48 и 36):

$4 \cdot (x - 2) = 3 \cdot (x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$4x - 8 = 3x + 6$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$4x - 3x = 6 + 8$

Приведем подобные слагаемые:

$x = 14$

Таким образом, собственная скорость лодки составляет 14 км/ч.Проверим условие: время по течению $48 / (14 + 2) = 48 / 16 = 3$ часа. Время против течения $36 / (14 - 2) = 36 / 12 = 3$ часа. Время совпадает, значит, решение верное.

Ответ: 14 км/ч.