Номер 53, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

53. Верно ли утверждение:

1) если $a > b$, то $a > -b$;

2) если $a > b$, то $2a > b$;

3) если $a > b$, то $2a + 1 > 2b$;

4) если $b > a$, то $\frac{b}{a} > 1$;

5) если $a > b + 2$ и $b - 3 > 4$, то $a > 9$;

6) если $a > b$, то $ab > b^2$;

7) поскольку $5 > 3$, то $5a^2 > 3a^2$;

8) поскольку $5 > 3$, то $5(a^2 + 1) > 3(a^2 + 1)$?

1) если a > b, то a > -b;

Утверждение неверно. Чтобы доказать ложность утверждения, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = -2$ и $b = -5$. Условие $a > b$ выполняется, так как $-2 > -5$. Теперь проверим следствие $a > -b$. Подставив наши значения, получим $-2 > -(-5)$, что равносильно неравенству $-2 > 5$. Это очевидно ложно. Таким образом, утверждение не является верным для всех $a$ и $b$.

Ответ: неверно.

2) если a > b, то 2a > b;

Утверждение неверно. Рассмотрим контрпример. Пусть $a = -1$ и $b = -1.5$. Условие $a > b$ истинно, поскольку $-1 > -1.5$. Проверим следствие $2a > b$. Подставим значения: $2 \cdot (-1) > -1.5$, что приводит к неравенству $-2 > -1.5$. Это неравенство ложно, так как на числовой прямой $-2$ находится левее, чем $-1.5$.

Ответ: неверно.

3) если a > b, то 2a + 1 > 2b;

Утверждение верно. Докажем это с помощью свойств числовых неравенств.
1. Исходное неравенство: $a > b$.
2. Умножим обе части на положительное число 2. Знак неравенства при этом сохранится: $2a > 2b$.
3. Прибавим к обеим частям число 1. Знак неравенства снова не изменится: $2a + 1 > 2b + 1$.
4. Мы знаем, что любое число больше, если от него отнять 1, поэтому $2b + 1 > 2b$.
5. Теперь у нас есть цепочка неравенств: $2a + 1 > 2b + 1$ и $2b + 1 > 2b$. По свойству транзитивности, из этого следует, что $2a + 1 > 2b$.

Ответ: верно.

4) если b > a, то $\frac{b}{a} > 1$;

Утверждение неверно. При делении обеих частей неравенства на число, необходимо учитывать знак этого числа. Если $a > 0$, то из $b > a$ действительно следует $\frac{b}{a} > 1$. Однако, если $a < 0$, знак неравенства должен быть изменен на противоположный, и мы получим $\frac{b}{a} < 1$.
Приведем контрпример. Пусть $b = -2$ и $a = -4$. Условие $b > a$ выполняется, так как $-2 > -4$. Проверим следствие: $\frac{b}{a} > 1$. Подставим значения: $\frac{-2}{-4} > 1$, что равносильно $\frac{1}{2} > 1$. Это неравенство ложно.

Ответ: неверно.

5) если a > b + 2 и b - 3 > 4, то a > 9;

Утверждение верно. Решим систему неравенств.
1. Из второго неравенства $b - 3 > 4$ найдем ограничение для $b$. Прибавив 3 к обеим частям, получим $b > 7$.
2. Теперь используем этот результат. Поскольку $b > 7$, то $b+2 > 7+2$, что означает $b+2 > 9$.
3. У нас есть два неравенства: $a > b + 2$ (из условия) и $b + 2 > 9$ (из нашего вывода).
4. Применяя свойство транзитивности (если $X > Y$ и $Y > Z$, то $X > Z$), мы можем заключить, что $a > 9$.

Ответ: верно.

6) если a > b, то ab > b²;

Утверждение неверно. Знак неравенства при умножении на $b$ зависит от знака самого $b$.
Если $b > 0$, то знак сохранится: $ab > b^2$.
Если $b < 0$, то знак изменится на противоположный: $ab < b^2$.
Если $b = 0$, то неравенство примет вид $a \cdot 0 > 0^2$, то есть $0 > 0$, что ложно.
Контрпример: пусть $b = -3$. Из условия $a > b$ выберем $a=2$. Условие $2 > -3$ истинно. Проверим следствие $ab > b^2$: $2 \cdot (-3) > (-3)^2$, что равносильно $-6 > 9$. Это ложное неравенство.

Ответ: неверно.

7) поскольку 5 > 3, то 5a² > 3a²;

Утверждение неверно. Умножать обе части верного неравенства $5 > 3$ можно только на строго положительное число, чтобы сохранить знак. Выражение $a^2$ является неотрицательным ($a^2 \ge 0$), но не всегда строго положительным.
Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$, и умножение на $a^2$ дает верное неравенство $5a^2 > 3a^2$.
Однако, если $a = 0$, то $a^2 = 0$. В этом случае итоговое неравенство превращается в $5 \cdot 0 > 3 \cdot 0$, то есть $0 > 0$, что является ложным.
Так как утверждение не выполняется для $a=0$, оно неверно в общем виде.

Ответ: неверно.

8) поскольку 5 > 3, то 5(a² + 1) > 3(a² + 1)?

Утверждение верно. Мы исходим из верного неравенства $5 > 3$. Чтобы получить итоговое неравенство, нужно умножить обе части на выражение $(a^2 + 1)$.
Проанализируем знак этого выражения. Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ неотрицателен: $a^2 \ge 0$.
Следовательно, $a^2 + 1 \ge 0 + 1$, то есть $a^2 + 1 \ge 1$.
Это означает, что выражение $(a^2 + 1)$ всегда является строго положительным. При умножении обеих частей верного неравенства на строго положительное число, знак неравенства сохраняется. Таким образом, утверждение $5(a^2 + 1) > 3(a^2 + 1)$ всегда истинно.

Ответ: верно.