Номер 46, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

46. Дано: $-3a > -3b$. Сравните:

1) $a$ и $b$;

2) $\frac{2}{7}a$ и $\frac{2}{7}b$;

3) $b - 4$ и $a - 4$;

4) $-\frac{5}{9}b$ и $-\frac{5}{9}a$;

5) $3a + 2$ и $3b + 2$;

6) $-5a + 10$ и $-5b + 10$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать свойства числовых неравенств. Основным свойством, которое нам понадобится, является следующее: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. При умножении или делении на положительное число, а также при прибавлении или вычитании любого числа, знак неравенства сохраняется.

Исходное неравенство: $-3a > -3b$.

1) а и b

Чтобы сравнить $a$ и $b$, разделим обе части исходного неравенства на -3. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный.

$\frac{-3a}{-3} < \frac{-3b}{-3}$

Выполнив деление, получаем:

$a < b$

Ответ: $a < b$.

2) $\frac{2}{7}a$ и $\frac{2}{7}b$

Из пункта 1 мы установили, что $a < b$. Теперь умножим обе части этого неравенства на положительное число $\frac{2}{7}$. Знак неравенства при этом не изменится.

$\frac{2}{7} \cdot a < \frac{2}{7} \cdot b$

$\frac{2}{7}a < \frac{2}{7}b$

Ответ: $\frac{2}{7}a < \frac{2}{7}b$.

3) b – 4 и a – 4

Мы знаем, что $a < b$. Это то же самое, что и $b > a$. Вычтем из обеих частей неравенства $a < b$ число 4. При вычитании одного и того же числа знак неравенства не меняется.

$a - 4 < b - 4$

Следовательно, $b-4$ больше, чем $a-4$.

Ответ: $b - 4 > a - 4$.

4) $-\frac{5}{9}b$ и $-\frac{5}{9}a$

Возьмем неравенство $a < b$ из первого пункта. Умножим обе части на отрицательное число $-\frac{5}{9}$. При умножении на отрицательное число знак неравенства необходимо поменять на противоположный.

$a \cdot \left(-\frac{5}{9}\right) > b \cdot \left(-\frac{5}{9}\right)$

$-\frac{5}{9}a > -\frac{5}{9}b$

Это означает, что $-\frac{5}{9}b$ меньше, чем $-\frac{5}{9}a$.

Ответ: $-\frac{5}{9}b < -\frac{5}{9}a$.

5) 3a + 2 и 3b + 2

Начнем с неравенства $a < b$. Сначала умножим обе части на положительное число 3. Знак неравенства сохранится.

$3a < 3b$

Затем прибавим к обеим частям число 2. Знак неравенства снова не изменится.

$3a + 2 < 3b + 2$

Ответ: $3a + 2 < 3b + 2$.

6) -5a + 10 и -5b + 10

Опять начнем с неравенства $a < b$. Сначала умножим обе части на отрицательное число -5, изменив знак неравенства на противоположный.

$-5a > -5b$

Теперь прибавим к обеим частям число 10. Знак неравенства при этом не изменится.

$-5a + 10 > -5b + 10$

Ответ: $-5a + 10 > -5b + 10$.