Номер 43, страница 15 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

43. Известно, что $-2 < b < 1$. Сравните с нулём значение выражения:

1) $b + 2$;

2) $1 - b$;

3) $b - 2$;

4) $(b - 1)(b - 3)$;

5) $(b + 2)(b - 4)^2$;

6) $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2$.

Нам дано неравенство $-2 < b < 1$. Мы будем использовать это условие для определения знака каждого выражения.

1) $b + 2$

Из левой части исходного неравенства $-2 < b$ следует, что если прибавить 2 к обеим частям, то знак неравенства сохранится:
$-2 + 2 < b + 2$
$0 < b + 2$
Следовательно, значение выражения $b + 2$ всегда больше нуля.
Ответ: $b + 2 > 0$ (положительное).

2) $1 - b$

Из правой части исходного неравенства $b < 1$ следует, что если вычесть $b$ из обеих частей, то получим:
$b - b < 1 - b$
$0 < 1 - b$
Следовательно, значение выражения $1 - b$ всегда больше нуля.
Ответ: $1 - b > 0$ (положительное).

3) $b - 2$

Используем правую часть исходного неравенства $b < 1$. Вычтем 2 из обеих частей:
$b - 2 < 1 - 2$
$b - 2 < -1$
Так как любое число, которое меньше $-1$, также меньше нуля, то выражение $b - 2$ всегда отрицательно.
Ответ: $b - 2 < 0$ (отрицательное).

4) $(b - 1)(b - 3)$

Рассмотрим знак каждого множителя в отдельности.
Первый множитель: $b - 1$. Из условия $b < 1$ следует, что $b - 1 < 0$ (отрицательный).
Второй множитель: $b - 3$. Из условия $b < 1$ следует, что $b - 3 < 1 - 3$, то есть $b - 3 < -2$. Значит, множитель $b - 3$ также отрицательный.
Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом: $(-)\cdot(-) = (+)$.
Следовательно, $(b - 1)(b - 3) > 0$.
Ответ: $(b - 1)(b - 3) > 0$ (положительное).

5) $(b + 2)(b - 4)^2$

Рассмотрим знак каждого множителя.
Первый множитель: $b + 2$. Как было показано в пункте 1, из условия $-2 < b$ следует, что $b + 2 > 0$ (положительный).
Второй множитель: $(b - 4)^2$. Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, является положительным числом. Так как по условию $b < 1$, то $b \neq 4$, а значит $b - 4 \neq 0$. Следовательно, $(b - 4)^2 > 0$ (положительный).
Произведение двух положительных чисел является положительным числом: $(+)\cdot(+) = (+)$.
Следовательно, $(b + 2)(b - 4)^2 > 0$.
Ответ: $(b + 2)(b - 4)^2 > 0$ (положительное).

6) $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2$

Рассмотрим знак каждого множителя.
Первый множитель: $b - 3$. Как было показано в пункте 4, из $b < 1$ следует, что $b - 3 < 0$ (отрицательный).
Второй множитель: $b + 3$. Из условия $-2 < b$ следует, что $-2 + 3 < b + 3$, то есть $1 < b + 3$. Значит, $b + 3 > 0$ (положительный).
Третий множитель: $(b - 2)^2$. Так как по условию $b < 1$, то $b \neq 2$, а значит $b - 2 \neq 0$. Следовательно, квадрат этого выражения $(b - 2)^2$ всегда положителен.
Находим знак всего произведения, перемножая знаки множителей: $(-)\cdot(+)\cdot(+) = (-)$.
Следовательно, $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2 < 0$.
Ответ: $(b - 3)(b + 3)(b - 2)^2 < 0$ (отрицательное).