Номер 55, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

55. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) обе части верного неравенства $a < -a^2$ разделим на $a$;

2) обе части верного неравенства $a > 2a^2$ разделим на $a$;

3) обе части верного неравенства $a^3 > a^2$ разделим на $-a$.

1) Дано верное неравенство $a < -a^2$. Чтобы разделить обе части этого неравенства на $a$, необходимо сначала определить знак $a$.

Выражение $-a^2$ является неположительным (т.е. $-a^2 \le 0$) для любого действительного значения $a$. Поскольку по условию $a < -a^2$, это означает, что $a$ строго меньше неположительного числа. Следовательно, $a$ — отрицательное число, то есть $a < 0$. (Также заметим, что $a \neq 0$, иначе получилось бы неверное неравенство $0 < 0$).

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «<» на «>»).

Разделим обе части неравенства $a < -a^2$ на $a$:

$\frac{a}{a} > \frac{-a^2}{a}$

$1 > -a$

Ответ: $1 > -a$

2) Дано верное неравенство $a > 2a^2$. Чтобы разделить обе части этого неравенства на $a$, определим знак $a$.

Выражение $2a^2$ является неотрицательным (т.е. $2a^2 \ge 0$) для любого действительного значения $a$. Поскольку по условию $a > 2a^2$, это означает, что $a$ строго больше неотрицательного числа. Следовательно, $a$ — положительное число, то есть $a > 0$. (Также заметим, что $a \neq 0$, иначе получилось бы неверное неравенство $0 > 0$).

При делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не изменяется.

Разделим обе части неравенства $a > 2a^2$ на $a$:

$\frac{a}{a} > \frac{2a^2}{a}$

$1 > 2a$

Ответ: $1 > 2a$

3) Дано верное неравенство $a^3 > a^2$. Нужно разделить обе части этого неравенства на $-a$. Для этого сначала определим знак $a$, а затем знак выражения $-a$.

Преобразуем исходное неравенство:

$a^3 - a^2 > 0$

Вынесем общий множитель $a^2$ за скобки:

$a^2(a-1) > 0$

Поскольку неравенство верное, $a \neq 0$. Для любого $a \neq 0$ множитель $a^2$ всегда положителен ($a^2 > 0$). Чтобы произведение $a^2(a-1)$ было положительным, второй множитель $(a-1)$ также должен быть положительным.

$a-1 > 0$

$a > 1$

Итак, мы установили, что $a$ — положительное число, большее 1. Следовательно, выражение $-a$, на которое мы делим, является отрицательным ($-a < -1$).

При делении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с «>» на «<»).

Разделим обе части неравенства $a^3 > a^2$ на $-a$:

$\frac{a^3}{-a} < \frac{a^2}{-a}$

$-a^2 < -a$

Ответ: $-a^2 < -a$