Номер 54, страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

54. Запишите неравенство, которое получим, если:

1) обе части верного неравенства $a > 2$ умножим на $a$;

2) обе части верного неравенства $b < -1$ умножим на $b$;

3) обе части верного неравенства $m < -3$ умножим на $-m$;

4) обе части верного неравенства $c > -4$ умножим на $c$.

1)

Дано верное неравенство $a > 2$. Необходимо умножить обе его части на $a$. Из условия $a > 2$ следует, что $a$ является положительным числом, то есть $a > 0$. При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Умножаем левую часть на $a$: $a \cdot a = a^2$. Умножаем правую часть на $a$: $2 \cdot a = 2a$. Так как знак неравенства $ > $ сохраняется, получаем: $a^2 > 2a$.

Ответ: $a^2 > 2a$.

2)

Дано верное неравенство $b < -1$. Необходимо умножить обе его части на $b$. Из условия $b < -1$ следует, что $b$ является отрицательным числом, то есть $b < 0$. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный. В данном случае знак $ < $ меняется на $ > $. Умножаем левую часть на $b$: $b \cdot b = b^2$. Умножаем правую часть на $b$: $-1 \cdot b = -b$. Меняя знак неравенства, получаем: $b^2 > -b$.

Ответ: $b^2 > -b$.

3)

Дано верное неравенство $m < -3$. Необходимо умножить обе его части на $-m$. Сначала определим знак множителя $-m$. Из условия $m < -3$ следует, что $m$ — число отрицательное ($m < 0$). Если $m$ — отрицательное число, то $-m$ — положительное число ($-m > 0$). При умножении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Умножаем левую часть на $-m$: $m \cdot (-m) = -m^2$. Умножаем правую часть на $-m$: $-3 \cdot (-m) = 3m$. Так как знак неравенства $ < $ сохраняется, получаем: $-m^2 < 3m$.

Ответ: $-m^2 < 3m$.

4)

Дано верное неравенство $c > -4$. Необходимо умножить обе его части на $c$. В данном случае знак числа $c$ не определен однозначно, так как $c$ может быть как положительным, так и отрицательным, или равным нулю. Поэтому необходимо рассмотреть все три случая.
1. Случай, когда $c > 0$.
При умножении на положительное число $c$ знак неравенства $ > $ сохранится. $c \cdot c > -4 \cdot c$
$c^2 > -4c$
2. Случай, когда $c < 0$.
С учетом исходного условия $c > -4$, этот случай соответствует интервалу $-4 < c < 0$. При умножении на отрицательное число $c$ знак неравенства $ > $ изменится на $ < $. $c \cdot c < -4 \cdot c$
$c^2 < -4c$
3. Случай, когда $c = 0$.
Исходное неравенство $0 > -4$ является верным. Умножая обе части на $c = 0$, получаем $0$ в левой части и $0$ в правой. В результате получается верное равенство $0 = 0$, а не неравенство.

Ответ: если $c > 0$, то $c^2 > -4c$; если $-4 < c < 0$, то $c^2 < -4c$; если $c = 0$, то получается верное равенство $0 = 0$.